Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En una urna hay 12 bolas rojas, 8 bolas blancas y 5 bolas azules. Se realiza el experimento aleatorio de extraer dos bolas, consecutivamente y sin devolución a la urna. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) $\mathbf{A} =$ «las dos bolas son rojas». [2 puntos]

b) $\mathbf{B} =$ «las dos bolas son del mismo color». [3 puntos]

c) $\mathbf{C} =$ «al menos una bola es roja». [3 puntos]

d) $\mathbf{D} =$ «ninguna de las dos bolas es roja». [2 puntos]

En la urna hay $12+8+5=25$ bolas. Las extracciones son consecutivas y sin devolución, de modo que en la segunda quedan 24 bolas y la composición depende de lo que haya salido antes.



$\textbf{a) } \boldsymbol{\mathbf{A} = }\textbf{ «las dos bolas son rojas». [2 puntos]}$

Recorremos la rama que pasa dos veces por rojo, multiplicando las probabilidades de cada etapa.

$P(\mathbf{A})=\dfrac{12}{25}\cdot\dfrac{11}{24}=\dfrac{132}{600}=\dfrac{11}{50}=0{,}22$

La probabilidad de que las dos bolas sean rojas es $0{,}22$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{\mathbf{B} = }\textbf{ «las dos bolas son del mismo color». [3 puntos]}$

Hay tres ramas favorables, una por color, y son incompatibles entre sí, de modo que se suman.

$P(\mathbf{B})=\dfrac{12}{25}\cdot\dfrac{11}{24}+\dfrac{8}{25}\cdot\dfrac{7}{24}+\dfrac{5}{25}\cdot\dfrac{4}{24}$

$P(\mathbf{B})=\dfrac{132+56+20}{600}=\dfrac{208}{600}=\dfrac{26}{75}\approx 0{,}3467$

La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color es $\dfrac{26}{75}\approx 0{,}35$.

$\textbf{c) } \boldsymbol{\mathbf{C} = }\textbf{ «al menos una bola es roja». [3 puntos]}$

«Al menos una roja» es el contrario de «ninguna roja», que es una sola rama: las dos bolas salen de entre las 13 que no son rojas.

$P(\mathbf{C})=1-\dfrac{13}{25}\cdot\dfrac{12}{24}=1-\dfrac{156}{600}$

$P(\mathbf{C})=\dfrac{444}{600}=\dfrac{37}{50}=0{,}74$

La probabilidad de que al menos una bola sea roja es $0{,}74$.

$\textbf{d) } \boldsymbol{\mathbf{D} = }\textbf{ «ninguna de las dos bolas es roja». [2 puntos]}$

Es justamente el suceso contrario del anterior, que ya hemos calculado por el camino.

$P(\mathbf{D})=1-P(\mathbf{C})=1-0{,}74=0{,}26$

La probabilidad de que ninguna de las dos bolas sea roja es $0{,}26$.