Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Se tienen tres urnas $A$, $B$ y $C$. La urna $A$ contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras. La urna $B$ contiene 3 bolas rojas y 3 bolas negras. La urna $C$ contiene 6 bolas negras. Se escoge una urna al azar y se extraen dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento.

a) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra. [3 puntos]

c) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcule la probabilidad de que la segunda sea negra. [4 puntos]

El experimento tiene tres etapas: elegir urna, extraer la primera bola y extraer la segunda sin devolver la primera. Las urnas son equiprobables, de modo que cada una se toma con probabilidad $\frac{1}{3}$. La urna $C$ solo tiene bolas negras, así que de ella no puede salir ninguna roja.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. [3 puntos]}$

El suceso se alcanza por tres caminos, uno por urna, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R_1)=P(A)P(R_1|A)+P(B)P(R_1|B)+P(C)P(R_1|C)$

$P(R_1)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{3}\cdot 0$

$P(R_1)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}3889$

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es $\dfrac{7}{18}\approx 0{,}39$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra. [3 puntos]}$

Ahora hay que recorrer las ramas completas hasta la tercera etapa, teniendo en cuenta que la primera bola no se devuelve y en la urna quedan cinco.

$P(R_1\cap N_2)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{5}$

$P(R_1\cap N_2)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{8}{30}+\dfrac{9}{30}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{17}{30}=\dfrac{17}{90}\approx 0{,}1889$

La probabilidad de sacar primero roja y después negra es $\dfrac{17}{90}\approx 0{,}19$.

$\textbf{c) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcule la probabilidad de que la segunda sea negra. [4 puntos]}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada, con los dos resultados anteriores.

$P(N_2|R_1)=\dfrac{P(R_1\cap N_2)}{P(R_1)}=\dfrac{17/90}{7/18}$

$P(N_2|R_1)=\dfrac{17}{90}\cdot\dfrac{18}{7}=\dfrac{17}{35}\approx 0{,}4857$

Sabiendo que la primera bola es roja, la probabilidad de que la segunda sea negra es $\dfrac{17}{35}\approx 0{,}49$.