Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Una prueba diagnóstica de una enfermedad da resultado negativo el 5 % de las veces que se aplica a un individuo que la padece y da positivo el 10 % de las veces que se aplica a un individuo que no la padece. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad afecta a 50 de cada 10000 personas. Si una persona escogida al azar se somete a la prueba diagnóstica, calcule las probabilidades siguientes:

a) Que un individuo no padezca la enfermedad. [1 punto]

b) Que la prueba dé resultado positivo. [3 puntos]

c) Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo. [3 puntos]

d) Que el resultado de la prueba sea erróneo. [3 puntos]

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ el individuo padece la enfermedad

$+ \equiv$ la prueba da positivo

Del enunciado, $P(-|E)=0{,}05$, $P(+|\overline{E})=0{,}10$ y $P(E)=\frac{50}{10000}=0{,}005$. Pasando a los complementarios dentro de cada rama se completa el árbol.



$\textbf{a) Que un individuo no padezca la enfermedad. [1 punto]}$

Padecerla y no padecerla son sucesos contrarios.

$P(\overline{E})=1-P(E)=1-0{,}005=0{,}995$

La probabilidad de que un individuo no padezca la enfermedad es $0{,}995$.

$\textbf{b) Que la prueba dé resultado positivo. [3 puntos]}$

El positivo se alcanza por dos caminos del árbol, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(+)=P(E)\cdot P(+|E)+P(\overline{E})\cdot P(+|\overline{E})$

$P(+)=0{,}005\cdot 0{,}95+0{,}995\cdot 0{,}10=0{,}00475+0{,}0995$

$P(+)=0{,}10425$

La probabilidad de que la prueba dé positivo es $0{,}10425$.

$\textbf{c) Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo. [3 puntos]}$

Hay que invertir el condicionamiento, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. La probabilidad de dar negativo es la complementaria de la anterior.

$P(-)=1-P(+)=1-0{,}10425=0{,}89575$

$P(\overline{E}|-)=\dfrac{P(\overline{E})\cdot P(-|\overline{E})}{P(-)}=\dfrac{0{,}995\cdot 0{,}90}{0{,}89575}=\dfrac{0{,}8955}{0{,}89575}$

$P(\overline{E}|-)\approx 0{,}9997$

Si la prueba da negativo, la probabilidad de no padecer la enfermedad es de $0{,}9997$: un negativo la descarta casi con total seguridad.

$\textbf{d) Que el resultado de la prueba sea erróneo. [3 puntos]}$

La prueba se equivoca de dos maneras incompatibles: dando negativo a un enfermo o positivo a un sano. Sumamos las dos ramas correspondientes.

$P(\text{error})=P(E)\cdot P(-|E)+P(\overline{E})\cdot P(+|\overline{E})$

$P(\text{error})=0{,}005\cdot 0{,}05+0{,}995\cdot 0{,}10=0{,}00025+0{,}0995$

$P(\text{error})=0{,}09975$

La probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo es $0{,}09975$, casi un $10\%$, y prácticamente todo ese error procede de los falsos positivos.