Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se conocen las probabilidades siguientes: $P(A) = 0{,}7$, $P(\bar{B}) = 0{,}4$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0{,}58$, donde $\bar{A}$ y $\bar{B}$ indican los sucesos contrarios (o complementarios) de $A$ y $B$, respectivamente. Calcule las probabilidades siguientes:

a) $P(\bar{A})$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [4 puntos]

b) $P(A \cup B)$. [1 punto]

c) $P(B \cap \bar{A})$. [3 puntos]

d) $P(A/B)$ y $P(\bar{A}/B)$. [2 puntos]

$\textbf{a) } \boldsymbol{P(\bar{A})}\textbf{, } \boldsymbol{P(B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{. ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sucesos independientes? [4 puntos]}$

Las dos primeras salen de los complementarios, y la intersección, de las leyes de De Morgan aplicadas al tercer dato.

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0{,}7=0{,}3$

$P(B)=1-P(\bar{B})=1-0{,}4=0{,}6$

$\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}\Rightarrow P(\bar{A}\cup\bar{B})=1-P(A\cap B)$

$0{,}58=1-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=0{,}42$

Para decidir la independencia comparamos la intersección con el producto de las probabilidades:

$P(A)\cdot P(B)=0{,}7\cdot 0{,}6=0{,}42=P(A\cap B)$

Sí, los sucesos $A$ y $B$ son independientes: que ocurra uno no altera la probabilidad del otro.



$\textbf{b) } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{. [1 punto]}$

Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, con todo lo calculado en el apartado anterior.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}7+0{,}6-0{,}42=0{,}88$

$\textbf{c) } \boldsymbol{P(B \cap \bar{A})}\textbf{. [3 puntos]}$

Al suceso $B$ se le quita la parte que comparte con $A$.

$P(B\cap\bar{A})=P(B)-P(A\cap B)=0{,}6-0{,}42=0{,}18$

La probabilidad de que ocurra $B$ pero no $A$ es $0{,}18$.

$\textbf{d) } \boldsymbol{P(A/B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(\bar{A}/B)}\textbf{. [2 puntos]}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}42}{0{,}6}=0{,}7$

$P(\bar{A}/B)=1-P(A/B)=1-0{,}7=0{,}3$

Los resultados coinciden con $P(A)$ y $P(\bar{A})$, como tenía que ocurrir por ser los sucesos independientes.