Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En una clase en la que todos los alumnos practican algún deporte, el 60 % de los alumnos juega a fútbol o a baloncesto y el 10 % practica los dos. Por otra parte, se sabe que hay un 60 % de alumnos que no juega a fútbol.

a) Sea $F =$ «juega a fútbol» y sea $B =$ «juega a baloncesto». Escriba, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, escogiendo al azar un alumno de la clase:

b.1) Juegue a fútbol. [1 punto]

b.2) Juegue a baloncesto. [2 puntos]

b.3) Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto). [2 puntos]

b.4) No juegue ni a fútbol ni a baloncesto. [2 puntos]

$\textbf{a) Sea } \boldsymbol{F = }\textbf{ «juega a fútbol» y sea } \boldsymbol{B = }\textbf{ «juega a baloncesto». Escriba, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado. [3 puntos]}$

Jugar a fútbol o a baloncesto es la unión de los dos sucesos; practicar los dos es su intersección; y no jugar a fútbol es el complementario del primero.

$P(F\cup B)=0{,}6$

$P(F\cap B)=0{,}1$

$P(F^{c})=0{,}6$

$\textbf{b.1) Juegue a fútbol. [1 punto]}$

El suceso complementario da la probabilidad directamente.

$P(F)=1-P(F^{c})=1-0{,}6=0{,}4$

La probabilidad de que un alumno juegue a fútbol es $0{,}4$.

$\textbf{b.2) Juegue a baloncesto. [2 puntos]}$

Despejamos de la fórmula de la probabilidad de la unión, en la que ya conocemos todo lo demás.

$P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)$

$0{,}6=0{,}4+P(B)-0{,}1$

$P(B)=0{,}6-0{,}4+0{,}1=0{,}3$

La probabilidad de que un alumno juegue a baloncesto es $0{,}3$.



$\textbf{b.3) Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto). [2 puntos]}$

Al suceso $B$ se le quita la parte que comparte con $F$.

$P(B\cap F^{c})=P(B)-P(F\cap B)=0{,}3-0{,}1=0{,}2$

La probabilidad de que un alumno juegue solo a baloncesto es $0{,}2$.

$\textbf{b.4) No juegue ni a fútbol ni a baloncesto. [2 puntos]}$

Por las leyes de De Morgan, no jugar a ninguno de los dos es el complementario de la unión.

$P(F^{c}\cap B^{c})=1-P(F\cup B)=1-0{,}6=0{,}4$

La probabilidad de que un alumno no juegue ni a fútbol ni a baloncesto es $0{,}4$; como todos practican algún deporte, ese $40\%$ practica otros distintos de esos dos.