Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Un espacio muestral contiene dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que $P(A \cap B) = 0{,}3$, $P(A/B) = P(B/A)$ y $P(A^{c}) = 0{,}4$ (siendo $A^{c}$ el suceso complementario), calcule:

a) $P(B/A)$. [2 puntos]

b) $P(B)$. [3 puntos]

c) $P(A^{c} \cap B^{c})$. [3 puntos]

d) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [2 puntos]

Del dato $P(A^{c})=0{,}4$ se obtiene enseguida la probabilidad de $A$, que es la que hace falta para todo lo demás.

$P(A)=1-P(A^{c})=1-0{,}4=0{,}6$

$\textbf{a) } \boldsymbol{P(B/A)}\textbf{. [2 puntos]}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada, con los dos datos que ya tenemos.

$P(B/A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$

La probabilidad de $B$ condicionada a $A$ es $0{,}5$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [3 puntos]}$

Usamos ahora la condición del enunciado, que iguala las dos condicionadas. La otra, $P(A/B)$, se escribe con la misma intersección pero dividida entre $P(B)$.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}3}{P(B)}$

$P(A/B)=P(B/A)\Rightarrow \dfrac{0{,}3}{P(B)}=0{,}5$

$P(B)=\dfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6$

La probabilidad del suceso $B$ es $0{,}6$. Era previsible: si las dos condicionadas coinciden y la intersección es la misma, los dos sucesos han de tener igual probabilidad.



$\textbf{c) } \boldsymbol{P(A^{c} \cap B^{c})}\textbf{. [3 puntos]}$

Por las leyes de De Morgan, que no ocurra ninguno de los dos equivale a que no ocurra su unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}6-0{,}3=0{,}9$

$P(A^{c}\cap B^{c})=1-P(A\cup B)=1-0{,}9=0{,}1$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $0{,}1$.

$\textbf{d) ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sucesos independientes? [2 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}6\cdot 0{,}6=0{,}36$

$P(A\cap B)=0{,}3\neq 0{,}36$

No, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.