Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que satisfacen que $P(A \cup B) = 0{,}7$, $P(A \cap B) = 0{,}1$ y $P(A \cap B^{c}) = 0{,}35$ (siendo $B^{c}$ el suceso complementario de $B$). Calcule:

a) $P(A)$. [3 puntos]

b) $P(B)$. [3 puntos]

c) $P(A^{c} \cup B^{c})$. [2 puntos]

d) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [2 puntos]

Los tres datos del enunciado reparten el espacio muestral en cuatro zonas, que es lo que conviene tener a la vista antes de empezar.



$\textbf{a) } \boldsymbol{P(A)}\textbf{. [3 puntos]}$

El suceso $A$ se descompone en dos partes disjuntas: lo que comparte con $B$ y lo que no.

$A=(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})$

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})=0{,}1+0{,}35=0{,}45$

La probabilidad del suceso $A$ es $0{,}45$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [3 puntos]}$

Despejamos de la fórmula de la probabilidad de la unión, en la que ya conocemos todo lo demás.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}7=0{,}45+P(B)-0{,}1$

$P(B)=0{,}7-0{,}45+0{,}1=0{,}35$

La probabilidad del suceso $B$ es $0{,}35$.

$\textbf{c) } \boldsymbol{P(A^{c} \cup B^{c})}\textbf{. [2 puntos]}$

Por las leyes de De Morgan, la unión de los complementarios es el complementario de la intersección.

$A^{c}\cup B^{c}=(A\cap B)^{c}$

$P(A^{c}\cup B^{c})=1-P(A\cap B)=1-0{,}1=0{,}9$

La probabilidad pedida es $0{,}9$.

$\textbf{d) ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sucesos independientes? [2 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades, así que basta comparar los dos números.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}45\cdot 0{,}35=0{,}1575$

$P(A\cap B)=0{,}1\neq 0{,}1575$

No, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes: saber que ha ocurrido uno de ellos modifica la probabilidad del otro.