Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Sean $A'$ y $B'$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente, y sea $A - B$ el conjunto de sucesos elementales de $A$ que no son de $B$.

Dadas las probabilidades $P(A) = 0{,}75$, $P(B') = 0{,}45$ y $P(A - B) = 0{,}3$, calcule:

a) $P(A \cap B)$. [0,75 puntos]

b) $P(B - A)$. [0,75 puntos]

c) $P(A' \cap B')$. [1 punto]

Empezamos escribiendo los datos en el lenguaje de sucesos. El complementario da la probabilidad de $B$, y la diferencia $A-B$ es la parte de $A$ que queda fuera de $B$.

$P(A)=0{,}75,\qquad P(B)=1-P(B')=1-0{,}45=0{,}55,\qquad P(A-B)=0{,}3$

Con estos datos se reparten las cuatro zonas del espacio muestral, que es lo que resuelve los tres apartados.



$\textbf{a) } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El suceso $A$ se descompone en dos partes disjuntas: la que comparte con $B$ y la que no.

$A=(A-B)\cup(A\cap B),\qquad (A-B)\cap(A\cap B)=\varnothing$

$P(A)=P(A-B)+P(A\cap B)$

$0{,}75=0{,}3+P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=0{,}45$

La probabilidad de que ocurran los dos sucesos a la vez es $P(A\cap B)=0{,}45$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(B - A)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Razonamos igual, pero descomponiendo ahora $B$ en la parte común y la parte propia.

$P(B)=P(B-A)+P(A\cap B)$

$0{,}55=P(B-A)+0{,}45\Rightarrow P(B-A)=0{,}1$

La probabilidad de que ocurra $B$ pero no $A$ es $P(B-A)=0{,}1$.

$\textbf{c) } \boldsymbol{P(A' \cap B')}\textbf{. [1 punto]}$

Por las leyes de De Morgan, que no ocurra ninguno de los dos es lo mismo que no ocurra su unión.

$A'\cap B'=(A\cup B)'$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}75+0{,}55-0{,}45=0{,}85$

$P(A'\cap B')=1-P(A\cup B)=1-0{,}85=0{,}15$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $0{,}15$, que es justamente lo que queda fuera de los dos círculos del diagrama.