Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Una empresa de construcción de drones ha hecho un estudio sobre la vida media de sus productos. Se ha detectado que el 45 % de sus productos se estropean antes de los 5 años. De entre estos objetos estropeados, el 40 % han sufrido un mal uso por parte de los usuarios, mientras que, de los productos no estropeados, se sabe que el 55 % también sufrieron un mal uso por parte de los usuarios.

a) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se hubiese estropeado antes de los 5 años? [0,75 puntos]

b) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso de él? [0,75 puntos]

c) Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviese estropeado antes de los 5 años? [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ el producto se estropea antes de los 5 años

$M\equiv$ el producto ha sufrido un mal uso por parte del usuario

Los datos son $P(E)=0{,}45$, $P(M|E)=0{,}40$ y $P(M|\overline{E})=0{,}55$, que organizamos en un árbol de dos etapas.



$\textbf{a) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se hubiese estropeado antes de los 5 años? [0,75 puntos]}$

Estropearse antes de los cinco años y no estropearse son sucesos contrarios, de modo que basta pasar al complementario.

$P(\overline{E})=1-P(E)=1-0{,}45=0{,}55$

La probabilidad de que el producto elegido no se haya estropeado antes de los 5 años es $0{,}55$, es decir, un $55\%$.

$\textbf{b) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso de él? [0,75 puntos]}$

Se pide una probabilidad condicionada a $\overline{E}$, y dentro de esa rama del árbol el buen y el mal uso son sucesos contrarios.

$P(\overline{M}|\overline{E})=1-P(M|\overline{E})=1-0{,}55=0{,}45$

La probabilidad de que se haya hecho un buen uso de un producto no estropeado es $0{,}45$, es decir, un $45\%$.

$\textbf{c) Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviese estropeado antes de los 5 años? [1 punto]}$

Aquí hay que invertir el condicionamiento del árbol, así que aplicamos el teorema de Bayes. Necesitamos antes $P(M)$, que se obtiene por el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $M$.

$P(M)=P(E)\cdot P(M|E)+P(\overline{E})\cdot P(M|\overline{E})$

$P(M)=0{,}45\cdot 0{,}40+0{,}55\cdot 0{,}55=0{,}18+0{,}3025=0{,}4825$

$P(\overline{E}|M)=\dfrac{P(\overline{E})\cdot P(M|\overline{E})}{P(M)}=\dfrac{0{,}3025}{0{,}4825}$

$P(\overline{E}|M)=\dfrac{121}{193}\approx 0{,}6269$

Sabiendo que el producto sufrió un mal uso, la probabilidad de que no estuviera estropeado antes de los 5 años es de $0{,}6269$, aproximadamente un $62{,}7\%$.