Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2021

Nos encontramos en un lugar en el que el campo magnético terrestre tiene una magnitud de $35\mu \text{T}$ y apunta hacia el norte, pero está inclinado ${50}^{\circ }$ (hacia abajo) respecto a la horizontal (figura a). Por un cable de una línea de alta tensión situada en este lugar circula una corriente de $200\text{ A}$ de intensidad. Esta corriente circula de este a oeste (hacia dentro en la figura a, $\otimes$).



a) Calcule la fuerza magnética que actúa sobre un tramo de $100\text{ metros}$ del cable debida al campo magnético terrestre. Después, determine su módulo y represente esquemáticamente su dirección y su sentido. Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) La corriente que circula por el cable de alta tensión es una corriente alterna y genera un campo magnético que continuamente cambia de sentido (véase la figura b). Debajo del cable se han situado tres espiras conductoras: una (A) es paralela a la superficie horizontal del terreno, otra (B) es paralela al plano del dibujo, y la tercera (C) está situada en el plano vertical que contiene la dirección este-oeste. ¿En cuál o cuáles de las espiras el campo magnético variable producido por la línea de alta tensión inducirá una corriente eléctrica? Justifique la respuesta especificando las leyes o los principios físicos en los que se ha basado. [1,25 puntos]

Nota: considere que el campo magnético es uniforme en la región donde se encuentran las espiras.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tramo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cable,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{sentido.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre un tramo rectilíneo de conductor por el que circula una corriente viene dada por la ley de Laplace:

$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$

El cable va de este a oeste y el campo terrestre está contenido en el plano vertical norte-sur, de modo que el cable es perpendicular al campo y el seno del ángulo vale la unidad:

$F=ILB$





Sustituyendo los datos:

$F=200\cdot 100\cdot 35\cdot {10}^{-6}$

$F=\mathrm{0,700}\text{N}$

Para la dirección y el sentido se toma un sistema de referencia con $\vec{\mathrm{ı}}$ hacia el este, $\vec{\mathrm{ȷ}}$ hacia el norte y $\vec{k}$ hacia arriba. Entonces:

$\vec{L}=-L\vec{\mathrm{ı}}\vec{B}=B(\cos {50}^{\circ }\vec{\mathrm{ȷ}}-\sin {50}^{\circ }\vec{k})$

$\vec{F}=I(-L\vec{\mathrm{ı}})\times B(\mathrm{0,643}\vec{\mathrm{ȷ}}-\mathrm{0,766}\vec{k})$

$\vec{F}=ILB(-\mathrm{0,766}\vec{\mathrm{ȷ}}-\mathrm{0,643}\vec{k})$

$\vec{F}=-\mathrm{0,536}\vec{\mathrm{ȷ}}-\mathrm{0,450}\vec{k}\text{ N}$

La fuerza está contenida en el plano vertical norte-sur y es perpendicular al campo, como debe ser: apunta hacia el sur y hacia abajo, formando ${40}^{\circ }$ con la horizontal.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{espiras}}\mathbf{\text{inducir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por la ley de Faraday-Lenz, en una espira se induce corriente cuando varía el flujo magnético que la atraviesa:

$\epsilon =-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \alpha$

De modo que el flujo solo es distinto de cero si el campo tiene alguna componente perpendicular al plano de la espira.

El cable está orientado de este a oeste, así que las líneas del campo que genera son circunferencias contenidas en planos perpendiculares al cable, es decir, en planos verticales norte-sur. Justo debajo del cable, en la región de las espiras, ese campo es horizontal y está dirigido en la dirección norte-sur.

Se examina cada espira:

i) Espira A, paralela al suelo: su vector superficie es vertical, perpendicular al campo. El flujo es nulo en todo momento y no se induce corriente.

ii) Espira B, paralela al plano del dibujo (el plano vertical norte-sur): su vector superficie es horizontal en la dirección este-oeste, también perpendicular al campo. El flujo vuelve a ser nulo y tampoco se induce corriente.

iii) Espira C, situada en el plano vertical que contiene la dirección este-oeste: su vector superficie es horizontal y apunta en la dirección norte-sur, es decir, paralelo al campo. El flujo es máximo y, como la corriente es alterna, varía continuamente con el tiempo.

Solo en la espira C se induce corriente eléctrica.