Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

Dos hilos conductores rectos paralelos están separados 2 cm. El sentido de la corriente $I_1$ es hacia arriba, el de la corriente $I_2$ no se sabe.



a) Un teslámetro en el punto M, a 1 cm de cada hilo, da una lectura de 0,4 mT. Cuando se cambia el sentido de la corriente del segundo hilo, la lectura es de 0,8 mT. Determine si la corriente inicial del hilo 2 era hacia arriba o hacia abajo y los valores absolutos de $I_1$ e $I_2$. [1 punto]

Responda b1 o b2.

b1) Se fijan $I_1$ e $I_2$ a 20 A hacia arriba y se coloca un hilo recto paralelo a los dos anteriores que pasa por el punto M, con una corriente $I_M=30\text{ A}$ hacia abajo. Calcule la fuerza magnética total por unidad de longitud sobre el hilo de la derecha. Dibuje los hilos y los vectores de las fuerzas que las corrientes $I_1$ e $I_M$ ejercen sobre $I_2$ individualmente. [1 punto]

b2) Se fija $I_1$ a 20 A hacia arriba e $I_2$ a 20 A hacia abajo. Para anular el campo magnético en el punto M, determine: i) La intensidad y el sentido de la corriente de un hilo recto paralelo a los dos anteriores, a 2 cm a la izquierda del primer hilo. ii) El radio de una espira circular centrada en M con una corriente de 12,7 A. [1 punto]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N A}}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$; campo en el centro de una espira circular, $B_{\odot }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$; fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos, ${\displaystyle \frac{F}{L}}={\mu }_0{\displaystyle \frac{I_1{I}_2}{2\pi d}}$.

El punto M está entre los dos hilos. Con la regla de la mano derecha, un hilo con la corriente hacia arriba crea a su derecha un campo entrante en el papel y a su izquierda uno saliente.

Si las dos corrientes tienen el mismo sentido, en M los dos campos son opuestos y la lectura es la diferencia de sus módulos. Si tienen sentidos contrarios, los dos campos coinciden y la lectura es la suma.





Al invertir el sentido de $I_2$ se pasa de un caso al otro, así que las dos lecturas son la suma y la diferencia de los mismos dos módulos. Como la suma nunca puede ser menor que la diferencia, la lectura de 0,8 mT es la suma y la de 0,4 mT la diferencia:

$B_1+B_2=\mathrm{0,8}\text{ mT}$

$\mathrm{\mid }{B}_1-B_2\mathrm{\mid }=\mathrm{0,4}\text{ mT}$

Por tanto, la corriente inicial del hilo 2 iba hacia arriba, en el mismo sentido que $I_1$, que es el caso en el que los campos se restan.

Resolviendo el sistema:

$B_1=\mathrm{0,6}\text{ mT},B_2=\mathrm{0,2}\text{ mT}$

Se despeja la intensidad de la expresión del campo de un hilo indefinido, con $r=1\text{ cm}={10}^{-2}\text{ m}$:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}\Rightarrow I={\displaystyle \frac{2\pi rB}{{\mu }_0}}$

$I={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\cdot {10}^{-3}\cdot {10}^{-2}}{2\cdot {10}^{-7}}}=30\text{ A}$

$I={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot {10}^{-3}\cdot {10}^{-2}}{2\cdot {10}^{-7}}}=10\text{ A}$

La corriente del hilo 2 era inicialmente hacia arriba y los valores absolutos de las dos intensidades son 30 A y 10 A. El teslámetro solo mide módulos, así que las dos lecturas fijan la pareja de intensidades pero no dicen cuál de los dos hilos lleva la de 30 A y cuál la de 10 A.












Sobre el hilo 2 actúan dos fuerzas. La del hilo 1, que lleva la corriente en el mismo sentido, es atractiva y apunta hacia la izquierda; la del hilo que pasa por M, con la corriente en sentido contrario, es repulsiva y apunta hacia la derecha.

Las distancias son $d_{12}=2\text{ cm}$ y $d_{M2}=1\text{ cm}$.





La fuerza por unidad de longitud entre hilos paralelos es la que da el enunciado:

${\displaystyle \frac{F}{L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{I{I}^{\mathrm{\prime }}}{d}}$

Para la que ejerce el hilo 1:

${\displaystyle \frac{F_{1\to 2}}{L}}=2\cdot {10}^{-7}\cdot {\displaystyle \frac{20\cdot 20}{2\cdot {10}^{-2}}}=4\cdot {10}^{-3}\text{ N/m}$

Y para la que ejerce el hilo que pasa por M:

${\displaystyle \frac{F_{M\to 2}}{L}}=2\cdot {10}^{-7}\cdot {\displaystyle \frac{30\cdot 20}{1\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-2}\text{ N/m}$

Las dos son perpendiculares a los hilos y de sentidos opuestos, de modo que la resultante es la diferencia:

${\displaystyle \frac{F}{L}}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-2}-4\cdot {10}^{-3}=8\cdot {10}^{-3}\text{ N/m}$

La fuerza total sobre el hilo de la derecha vale $8\cdot {10}^{-3}\text{ N/m}$, es perpendicular a los hilos y apunta hacia la derecha, alejándose de los otros dos: gana la repulsión del hilo central, que lleva más corriente y está más cerca.












Ahora las dos corrientes tienen sentidos contrarios, de manera que en M los dos campos son entrantes y se suman:

$B_1=B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-7}\cdot 20}{{10}^{-2}}}=4\cdot {10}^{-4}\text{ T}$

$B_M=B_1+B_2=8\cdot {10}^{-4}\text{ T},\text{ entrante}$





i) El tercer hilo ha de crear en M un campo de $8\cdot {10}^{-4}\text{ T}$ saliente del papel. Está a 2 cm a la izquierda del primer hilo, es decir, a

$r_3=2+1=3\text{ cm}=3\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

del punto M, que le queda a la derecha. Para que el campo sea saliente a su derecha, la corriente debe ir hacia abajo.

Se despeja la intensidad:

$I_3={\displaystyle \frac{2\pi r_3{B}_M}{{\mu }_0}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-2}\cdot 8\cdot {10}^{-4}}{2\cdot {10}^{-7}}}=120\text{ A}$

Hace falta un hilo con 120 A hacia abajo.

ii) La espira está centrada en M, así que el campo que crea en su centro es el que da el enunciado:

$B_{\odot }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$

Ha de valer también $8\cdot {10}^{-4}\text{ T}$ y ser saliente, lo que obliga a que la corriente recorra la espira en sentido antihorario, tal como se ve la figura.

Se despeja el radio:

$R={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2B_M}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{12,7}}{2\cdot 8\cdot {10}^{-4}}}=\mathrm{9,97}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

La espira ha de tener un radio de $\mathrm{1,0}\text{ cm}$, es decir, ha de pasar justo por los dos hilos.