Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Entre dos hilos conductores, rectos, infinitos y paralelos, hay una espira circular como muestra la figura. Los sentidos de las corrientes eléctricas $I_1$, $I_2=3I_1$ e $I_e$ se indican con las flechas. Calcule:



a) La intensidad $I_1$ para que el módulo del campo magnético en el punto C a causa de las corrientes de los dos hilos rectos valga 25 μT. Describa o dibuje la dirección y el sentido de este campo magnético. [1 punto]

b) La intensidad del campo magnético total en el punto C si la corriente $I_e$ de la espira circular es de 1,44 A. [1 punto]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N A}}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$.

Con la regla de la mano derecha, el primer hilo, con la corriente hacia arriba, crea a su derecha un campo entrante en el papel; el segundo, con la corriente hacia abajo, crea a su izquierda un campo también entrante.

Los dos campos tienen, por tanto, la misma dirección —perpendicular al plano de la figura— y el mismo sentido, y se suman.





Las distancias del punto C a cada hilo son:

$r_1=7\text{ cm}=\mathrm{0,07}\text{ m},r_2=21-7=14\text{ cm}=\mathrm{0,14}\text{ m}$

Aplicando el principio de superposición y la expresión del campo de un hilo indefinido, con $I_2=3I_1$:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r_1}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}3I_1}{2\pi r_2}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi }}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,07}}}+{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{0,14}}})$

$B=2\cdot {10}^{-7}\cdot I_1(\mathrm{14,29}+\mathrm{21,43})=\mathrm{7,143}\cdot {10}^{-6}{I}_1$

Se despeja la intensidad:

$I_1={\displaystyle \frac{25\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{7,143}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{3,5}\text{ A}$

La corriente del primer hilo es de $\mathrm{3,5}\text{ A}$ (y la del segundo, $\mathrm{10,5}\text{ A}$). El campo resultante en C es perpendicular al plano de la figura y entrante, y sus dos contribuciones valen $10\mu \text{T}$ y $15\mu \text{T}$.



El punto C es el centro de la espira, así que su campo es el que da el enunciado. El radio es la mitad del diámetro de la figura:

$R={\displaystyle \frac{6}{2}}=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$

$B_e={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_e}{2R}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{1,44}}{2\cdot \mathrm{0,03}}}=\mathrm{3,02}\cdot {10}^{-5}\text{ T}=\mathrm{30,2}\mu \text{T}$

La corriente de la espira circula en sentido horario, tal como marcan las flechas de la figura, de modo que por la regla de la mano derecha su campo en el centro también es entrante en el papel: se suma a los otros dos.

$B_C=25+\mathrm{30,2}=\mathrm{55,2}\mu \text{T}$

El campo magnético total en C vale $\mathrm{55,2}\mu \text{T}$, perpendicular al plano de la figura y entrante.