Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Un protón dentro de un campo magnético uniforme se mueve en un instante dado como se representa en la figura.



a) Determine la dirección y el sentido de la fuerza sobre el protón. Nombre y escriba la ley física que justifica la respuesta. [0,4 puntos]

b) Describa la trayectoria del protón dentro del campo y en qué sentido la sigue. [0,2 puntos]

c) Deduzca la expresión para calcular el tiempo necesario para que el protón vuelva a la posición inicial. Escriba los nombres de los términos principales que intervienen en la deducción. [0,8 puntos]

d) Calcule cuántas vueltas completas hace el protón durante 3 μs si la velocidad inicial es de 310 km/s y el campo es de 0,25 T. [0,6 puntos]

Datos: $m_p=\mathrm{1,673}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Nombre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{justifica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La ley es la de la fuerza de Lorentz, que da la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Se toma el eje $X$ hacia la derecha, el $Y$ hacia arriba y el $Z$ saliente del papel. La velocidad es horizontal y el campo entrante:

$\vec{v}=v\vec{\mathrm{ı}},\vec{B}=-B\vec{k}$





$\vec{F}=q(v\vec{\mathrm{ı}})\times (-B\vec{k})=-qvB(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=+qvB\vec{\mathrm{ȷ}}$

El protón tiene carga positiva, de modo que la fuerza lleva el sentido de $+\vec{\mathrm{ȷ}}$: es perpendicular a la velocidad y al campo, está contenida en el plano de la figura y apunta hacia arriba.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Describa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sigue.}}\mathbf{\text{[0,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La fuerza magnética es en todo momento perpendicular a la velocidad, de modo que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia. Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es una fuerza centrípeta: la trayectoria es una circunferencia recorrida con movimiento circular uniforme.

Como la fuerza inicial apunta hacia arriba, el centro de la circunferencia está por encima del protón y este la recorre en sentido antihorario.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vuelva}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{nombres}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{principales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{intervienen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{deducci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El tiempo que tarda en volver a la posición inicial es el período de la trayectoria circular.

Se iguala la fuerza de Lorentz, que aquí hace de fuerza centrípeta, a la masa por la aceleración normal:

$qvB={\displaystyle \frac{m_p{v}^2}{r}}$

Se simplifica una velocidad y se despeja el radio de la trayectoria:

$r={\displaystyle \frac{m_{p}v}{qB}}$

El período es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, que es constante:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

Sustituyendo el radio:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{v}}\cdot {\displaystyle \frac{m_{p}v}{qB}}\Rightarrow T={\displaystyle \frac{2\pi m_p}{qB}}$

Los términos que intervienen son la fuerza de Lorentz, la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme, el radio de la trayectoria y el período. El resultado es notable: el período no depende de la velocidad, así que todos los protones tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio. En eso se basa el ciclotrón.



Se sustituyen los datos en la expresión anterior:

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{1,673}\cdot {10}^{-27}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,25}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,051}\cdot {10}^{-26}}{\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-20}}}$

$T=\mathrm{2,63}\cdot {10}^{-7}\text{ s}$

Y el número de vueltas en el tiempo dado:

$n={\displaystyle \frac{t}{T}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,63}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{11,4}$

El protón completa 11 vueltas enteras. El dato de la velocidad no interviene, tal como se acaba de deducir; solo serviría para calcular el radio de la trayectoria, que resulta ser de 1,30 cm.