Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

La figura representa tres hilos conductores rectos, paralelos y de longitud infinita. La corriente eléctrica en el hilo número 1 es de 5 A y en el número 3, de 7 A.



a) Calcule la intensidad de una corriente hacia abajo en el hilo número 2 para que la fuerza total sobre este hilo a causa de las corrientes en los otros dos hilos sea de 0,3 mN por metro hacia la derecha. [1 punto]

b) Determine la intensidad y el sentido de la corriente en el hilo número 2 para que la fuerza magnética total sobre el hilo número 1 a causa de las corrientes de los hilos 2 y 3 sea nula. [1 punto]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N A}}^{-2}$; fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos, ${\displaystyle \frac{F}{L}}={\mu }_0{\displaystyle \frac{I_1{I}_2}{2\pi d}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{abajo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{hilos}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,3}}\mathbf{\text{mN}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Los hilos 1 y 3 llevan la corriente hacia arriba y el hilo 2 hacia abajo, así que las dos parejas son de sentidos contrarios y las dos fuerzas son repulsivas.

El hilo 1 está a la izquierda, de modo que empuja al hilo 2 hacia la derecha; el hilo 3 está a la derecha y lo empuja hacia la izquierda.

Las distancias son 1 cm y 2 cm.





Se aplica la expresión del enunciado a cada pareja:

${\displaystyle \frac{F_{1\to 2}}{L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{5I_2}{\mathrm{0,01}}}=2\cdot {10}^{-7}\cdot 500I_2=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{I}_2$

${\displaystyle \frac{F_{3\to 2}}{L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0}{2\pi }}{\displaystyle \frac{7I_2}{\mathrm{0,02}}}=2\cdot {10}^{-7}\cdot 350I_2=\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-5}{I}_2$

La resultante, hacia la derecha, es la diferencia:

${\displaystyle \frac{F}{L}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{I}_2-\mathrm{7,0}\cdot {10}^{-5}{I}_2=\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-5}{I}_2$

Se impone el valor pedido y se despeja:

$\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-5}{I}_2=\mathrm{0,3}\cdot {10}^{-3}\Rightarrow I_2=10\text{ A}$

Por el hilo 2 han de circular $10\text{ A}$ hacia abajo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{causa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hilos}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{nula.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se estudia el hilo 1. Los hilos 1 y 3 llevan la corriente en el mismo sentido, así que se atraen: el hilo 3 tira del hilo 1 hacia la derecha, con una distancia de 3 cm:

${\displaystyle \frac{F_{3\to 1}}{L}}=2\cdot {10}^{-7}\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot 7}{\mathrm{0,03}}}=\mathrm{2,33}\cdot {10}^{-4}\text{ N/m}$

Para que la fuerza total sobre el hilo 1 sea nula, el hilo 2 ha de empujarlo hacia la izquierda con esa misma intensidad. El hilo 2 está a la derecha del 1, así que la fuerza ha de ser repulsiva, y eso exige que las corrientes sean de sentido contrario: la corriente del hilo 2 ha de ir hacia abajo.

Se iguala su fuerza a la anterior, con la distancia de 1 cm:

$2\cdot {10}^{-7}\cdot {\displaystyle \frac{5I_2}{\mathrm{0,01}}}=\mathrm{2,33}\cdot {10}^{-4}$

$\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{I}_2=\mathrm{2,33}\cdot {10}^{-4}\Rightarrow I_2=\mathrm{2,33}\text{ A}$

Por el hilo 2 han de circular $\mathrm{2,33}\text{ A}$ hacia abajo.