Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

Una partícula $\alpha$ se mueve dentro de un campo magnético uniforme y en un instante dado tiene la velocidad $\mathbf{v}$ representada en la figura.



a) Escriba el apellido del físico que da nombre a la fuerza magnética sobre la partícula. [0,25 puntos]

b) Escriba cuál de las trayectorias sigue la partícula. Las líneas P son arcos parabólicos y las C, arcos circulares. Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]

c) Calcule cuántas vueltas completas hace la partícula durante 5 μs si la velocidad inicial es de 290 km/s y la intensidad del campo magnético es de 0,45 T. Justifique el cálculo. [1 punto]

Datos: $m_{\alpha }=\mathrm{6,64}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $q_{\alpha }=\mathrm{3,20}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apellido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{nombre}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Lorentz. La fuerza que ejerce un campo magnético sobre una carga en movimiento se llama fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{trayectorias}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neas}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{arcos}}\mathbf{\text{parab}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{licos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{C,}}\mathbf{\text{arcos}}\mathbf{\text{circulares.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{brevemente.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La partícula sigue la trayectoria $C_1$.

Hay dos cosas que decidir: la forma de la curva y hacia qué lado se dobla.

La forma es circular. La fuerza de Lorentz es siempre perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia; una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es exactamente una fuerza centrípeta, y la trayectoria es una circunferencia. Las trayectorias parabólicas corresponderían a una fuerza constante en módulo y dirección, como la de un campo eléctrico uniforme.





El sentido se obtiene del producto vectorial. Tomando el eje $X$ hacia la derecha, el $Y$ hacia arriba y el $Z$ saliente del papel, el campo es entrante y la velocidad horizontal:

$\vec{v}=v\vec{\mathrm{ı}},\vec{B}=-B\vec{k}$

$\vec{F}=q(v\vec{\mathrm{ı}})\times (-B\vec{k})=-qvB(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=+qvB\vec{\mathrm{ȷ}}$

La partícula $\alpha$ tiene carga positiva, de modo que la fuerza apunta hacia arriba y la trayectoria se curva hacia arriba: es la $C_1$.



En el movimiento circular la fuerza de Lorentz hace de fuerza centrípeta:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

El período es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi }{v}}\cdot {\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

La velocidad se simplifica: el período no depende de ella, de modo que el dato de los 290 km/s no hace falta para este apartado. Se sustituyen los datos:

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,64}\cdot {10}^{-27}}{\mathrm{3,20}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,45}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,171}\cdot {10}^{-26}}{\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-19}}}$

$T=\mathrm{2,90}\cdot {10}^{-7}\text{ s}$

El número de vueltas en 5 μs es:

$n={\displaystyle \frac{t}{T}}={\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,90}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{17,26}$

La partícula completa 17 vueltas enteras, y se queda a un cuarto de camino de la decimoctava.