Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

La corriente eléctrica de intensidad $I_1$ en un hilo que forma dos espiras circulares concéntricas como las de la figura crea un campo magnético ${\mathbf{B}}_{\mathrm{e}}$ en el centro de las espiras de 151 μT, dirigido hacia fuera del plano. Las partes rectas que conectan las espiras no afectan al valor del campo. Determine:



a) El sentido de la corriente en cada espira. [0,5 puntos]

b) El valor de $I_1$. [1 punto]

c) El sentido y el valor de la corriente $I_2$ en el hilo recto infinito, situado en el mismo plano de las espiras, a 11 cm de su centro, para anular el campo ${\mathbf{B}}_{\mathrm{e}}$. [0,5 puntos]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N A}}^{-2}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{espira.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Las dos espiras están conectadas en serie por los tramos rectos, de manera que las recorre la misma corriente. Siguiendo el hilo desde un terminal hasta el otro se comprueba que la corriente da la vuelta a una espira en un sentido y a la otra en el contrario.

Por tanto, los campos que crean en el centro son opuestos y el campo total es la diferencia de los dos.





Como el campo de una espira es inversamente proporcional a su radio, la espira interior crea el campo más intenso y es la que impone el sentido del campo total. El enunciado dice que ${\vec{B}}_{\mathrm{e}}$ sale del plano, así que, por la regla de la mano derecha, la corriente recorre la espira interior en sentido antihorario y la exterior en sentido horario.



El campo en el centro de una espira circular es el que da el enunciado:

$B_{\odot }={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$

Los radios son la mitad de los diámetros de la figura:

$R_{\text{int}}=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m},R_{\text{ext}}=5\text{ cm}=\mathrm{0,05}\text{ m}$

Como los dos campos son opuestos, el módulo del campo total es su diferencia:

$B_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2R_{\text{int}}}}-{\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2R_{\text{ext}}}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{R_{\text{int}}}}-{\displaystyle \frac{1}{R_{\text{ext}}}})$

Se evalúa el paréntesis:

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,03}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,05}}}=\mathrm{33,33}-20=\mathrm{13,33}{\text{m}}^{-1}$

Y se despeja la intensidad:

$I_1={\displaystyle \frac{2B_{\mathrm{e}}}{{\mu }_0(\frac{1}{R_{\text{int}}}-\frac{1}{R_{\text{ext}}})}}={\displaystyle \frac{2\cdot 151\cdot {10}^{-6}}{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{13,33}}}$

$I_1=\mathrm{18,0}\text{ A}$

Por el hilo circula una corriente de $\mathrm{18,0}\text{ A}$. Con ese valor, la espira interior crea $377\mu \text{T}$ saliente y la exterior $226\mu \text{T}$ entrante, cuya diferencia son los $151\mu \text{T}$ del enunciado.



El hilo recto ha de crear en el centro de las espiras un campo del mismo módulo que ${\vec{B}}_{\mathrm{e}}$ y de sentido contrario, es decir, $151\mu \text{T}$ entrante en el plano del papel.

El módulo del campo creado por un hilo indefinido es:

$B_{\parallel }={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi r}}$

Se despeja la intensidad, con $r=11\text{ cm}=\mathrm{0,11}\text{ m}$:

$I_2={\displaystyle \frac{2\pi r{B}_{\parallel }}{{\mu }_0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,11}\cdot 151\cdot {10}^{-6}}{2\cdot {10}^{-7}}}$

$I_2=\mathrm{83,1}\text{ A}$

Hace falta una corriente de $\mathrm{83,1}\text{ A}$. En cuanto al sentido, el centro de las espiras queda por debajo del hilo; para que el campo sea entrante en ese lado, la regla de la mano derecha exige que la corriente vaya hacia la derecha, dejando el centro de las espiras a su derecha en el sentido de avance.