Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Dos partículas de 7 μg, identificadas como $a$ y $b$, siguen las trayectorias representadas en la figura, dentro de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}$ de 35 T. Las dos partículas pasan por un punto P con la misma velocidad, $v_0=6\text{ km/s}$.



a) Calcule el valor absoluto de la carga eléctrica de la partícula $b$ si su trayectoria tiene 60 cm de radio. [0,5 puntos]

b) Determine qué partícula tiene la carga eléctrica más grande en valor absoluto. [0,5 puntos]

c) Determine el signo de la carga eléctrica de cada partícula. [0,4 puntos]

d) Calcule el tiempo que tarda la partícula $a$, de 2,9 μC en valor absoluto, en completar 3000 vueltas. [0,6 puntos]

Dato: fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathit{b}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dentro de un campo magnético uniforme, una partícula que entra perpendicularmente al campo describe una circunferencia, porque la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y hace de fuerza centrípeta:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Se simplifica una velocidad y se despeja el radio:

$r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

De ahí se obtiene la carga:

$\mathrm{\mid }{q}_b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{m{v}_0}{r_{b}B}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $m=7\mu \text{g}=7\cdot {10}^{-9}\text{ kg}$ y $v_0=6\cdot {10}^3\text{ m/s}$:

$\mathrm{\mid }{q}_b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{7\cdot {10}^{-9}\cdot 6\cdot {10}^3}{\mathrm{0,60}\cdot 35}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-5}}{21}}$

$\mathrm{\mid }{q}_b\mathrm{\mid }=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-6}\text{ C}=\mathrm{2,0}\mu \text{C}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{grande}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos partículas tienen la misma masa y la misma velocidad y se mueven en el mismo campo, de modo que en la expresión del radio

$r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

todo es común salvo la carga: el radio es inversamente proporcional a $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$. La trayectoria de menor radio corresponde a la carga mayor.

En la figura, la circunferencia de la partícula $a$ es visiblemente más pequeña que la de la partícula $b$, así que la partícula $a$ tiene la carga mayor en valor absoluto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La fuerza magnética apunta en todo momento hacia el centro de la trayectoria, así que basta mirar a qué lado de la velocidad queda cada centro.

El campo es entrante en el papel. Para una carga positiva, la fuerza

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

queda a la izquierda de la velocidad, es decir, girada ${90}^{\circ }$ en sentido antihorario respecto de ${\vec{v}}_0$.





El centro de la trayectoria de la partícula $a$ está a la izquierda de ${\vec{v}}_0$, que es justo donde apunta la fuerza sobre una carga positiva: la partícula $a$ tiene carga positiva.

El centro de la trayectoria de la partícula $b$ está a la derecha de ${\vec{v}}_0$, de modo que la fuerza sobre ella es la opuesta a la de una carga positiva: la partícula $b$ tiene carga negativa.



El período del movimiento circular es el tiempo que tarda en recorrer una circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

Sustituyendo el radio obtenido en el apartado a):

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{v}}\cdot {\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

El período no depende de la velocidad, solo de la masa, la carga y el campo. Se sustituyen los datos:

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot 7\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{2,9}\cdot {10}^{-6}\cdot 35}}=\mathrm{4,33}\cdot {10}^{-4}\text{ s}$

Y el tiempo de 3000 vueltas:

$t=3000T=3000\cdot \mathrm{4,33}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{1,30}\text{ s}$

La partícula $a$ tarda $\mathrm{1,30}\text{ s}$ en dar 3000 vueltas.