Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2020

Durante una tormenta cae un rayo por el cual circula una corriente eléctrica de $400\text{ kA}$. Suponga que la intensidad de la corriente del rayo es constante durante los $50\mu \text{s}$ que dura.

a) ¿Cuál es la carga eléctrica total que ha transportado este rayo? ¿Cuál es el campo magnético que crea esta corriente a una distancia de $100\text{ m}$? [1,25 puntos]

b) ¿Qué fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada que se encuentra en reposo a esta misma distancia? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{T m A}}^{-1}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; la intensidad del campo magnético creado por una corriente rectilínea es $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$, donde $r$ es la distancia a la corriente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{transportado}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{rayo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{crea}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La intensidad de corriente es la carga que atraviesa una sección por unidad de tiempo. Como el enunciado dice que es constante durante toda la descarga:

$I=\frac{q}{t}\Rightarrow q=It$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$I=400\text{ kA}=\mathrm{4,00}\cdot {10}^5\text{ A}t=50\mu \text{s}=\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-5}\text{ s}$

$q=\mathrm{4,00}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{5,0}\cdot {10}^{-5}$

$q=20\text{C}$

El rayo se puede tratar como un conductor rectilíneo, de modo que el campo magnético que crea a una distancia $r$ es:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{4,00}\cdot {10}^5}{2\pi \cdot 100}$

$B=\mathrm{8,00}\cdot {10}^{-4}\text{T}$

Es un campo unas veinte veces mayor que el campo magnético terrestre, aunque dura solo unas décimas de milisegundo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{cargada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{distancia?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga viene dada por la ley de Lorentz:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Como la partícula está en reposo, su velocidad es nula:

$\vec{v}=\vec{0}\Rightarrow \vec{F}=\vec{0}$

$F=0\text{N}$

La fuerza magnética es nula. A diferencia del campo eléctrico, que actúa sobre cualquier carga esté o no en movimiento, el campo magnético solo ejerce fuerza sobre cargas en movimiento, y siempre perpendicularmente a la velocidad.