Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.2. La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de $0{,}08$ y en un día seco es de $0{,}004$. La probabilidad de que llueva y se caiga es de $0{,}032$. Hoy un corredor ha salido. Se pide:

a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.

b) (1.25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.

Nombramos los sucesos: $L$, que el día sea lluvioso, y $C$, que el corredor se caiga. El enunciado da las dos probabilidades de caída condicionadas al tiempo y la de que ocurran las dos cosas a la vez.

$P(C\mid L)=0{,}08;\qquad P(C\mid\overline{L})=0{,}004;\qquad P(L\cap C)=0{,}032$

De la definición de probabilidad condicionada sale la probabilidad de que llueva, que es el dato que falta para completar el árbol.

$P(L\cap C)=P(L)\cdot P(C\mid L) \Rightarrow P(L)=\dfrac{0{,}032}{0{,}08}=0{,}4$



$\textbf{a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.}$

Que llueva y que no llueva forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre las ramas que acaban en $\overline{C}$.

$P(\overline{C})=P(L)\,P(\overline{C}\mid L)+P(\overline{L})\,P(\overline{C}\mid\overline{L})$

$=0{,}4\cdot 0{,}92+0{,}6\cdot 0{,}996=0{,}368+0{,}5976$

$P(\overline{C})=0{,}9656$

La probabilidad de que el corredor vuelva a casa sin haberse caído es $0{,}9656$, un $96{,}56\%$.

$\textbf{b) (1,25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. El denominador es el complementario del apartado anterior.

$P(\overline{L}\mid C)=\dfrac{P(\overline{L})\,P(C\mid\overline{L})}{P(C)}$

$P(C)=1-0{,}9656=0{,}0344$

$P(\overline{L}\mid C)=\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}004}{0{,}0344}=\dfrac{0{,}0024}{0{,}0344}=0{,}0698$

Si el corredor se ha caído, la probabilidad de que no estuviera lloviendo es de solo un $6{,}98\%$: la inmensa mayoría de las caídas se producen los días de lluvia.