Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.1. En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media $75{,}67$ y desviación típica $11{,}05$. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre $60$ y $80$ kilogramos.

b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a $100$ kilogramos.

c) (1 punto) Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población, calcular la probabilidad de que no más de uno supere los $100$ kilogramos.

Llamamos $X$ a la masa en kilogramos de un hombre de esa población, que según el enunciado se distribuye de forma normal.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(75{,}67\,;\,11{,}05)$

$\textbf{a) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre 60 y 80 kilogramos.}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar.

$P(60\leq X\leq 80)=P\left(\dfrac{60-75{,}67}{11{,}05}\leq Z\leq\dfrac{80-75{,}67}{11{,}05}\right)=P(-1{,}42\leq Z\leq 0{,}39)$

Restamos las áreas acumuladas y llevamos el extremo negativo al semieje positivo por la simetría de la campana.

$=\Phi(0{,}39)-\left[1-\Phi(1{,}42)\right]=0{,}6517-(1-0{,}9222)$

$=0{,}6517-0{,}0778=0{,}5739$

La probabilidad de que su masa esté entre 60 y 80 kilogramos es $0{,}5739$, un $57{,}39\%$.



$\textbf{b) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a 100 kilogramos.}$

Se procede igual, pero ahora se pide la cola de la derecha, que es el complementario del área acumulada.

$P(X>100)=P\left(Z>\dfrac{100-75{,}67}{11{,}05}\right)=P(Z>2{,}20)$

$=1-\Phi(2{,}20)=1-0{,}9861=0{,}0139$

Solo un $1{,}39\%$ de los hombres de esa población supera los 100 kilogramos.



$\textbf{c) (1 punto) Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población calcular la probabilidad de que no más de uno supere los 100 kilogramos.}$

Cada uno de los diez hombres es una prueba independiente con dos resultados y con la probabilidad de éxito hallada en el apartado anterior, así que el número $T$ de los que superan los 100 kilogramos sigue una binomial.

$p=0{,}0139 \Rightarrow T\sim B(10\,;\,0{,}0139)$

$P(T\leq 1)=P(T=0)+P(T=1)=(1-p)^{10}+10\,p\,(1-p)^{9}$

$=0{,}9861^{10}+10\cdot 0{,}0139\cdot 0{,}9861^{9}=0{,}8694+0{,}1226$

$P(T\leq 1)=0{,}9919$

La probabilidad de que como mucho uno de los diez supere los 100 kilogramos es de $0{,}9919$.