Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Se estima que el 20 % de los habitantes de una región padece algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un 95 % de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un 0,5 % de los casos.

a) Si escogemos 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias? [0,75 puntos]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia? [0,75 puntos]
c) Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias? [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$A \equiv$ la persona padece arritmia

$\overline{A} \equiv$ la persona no padece arritmia

$+ \equiv$ el Holter da un diagnóstico positivo

$- \equiv$ el Holter da un diagnóstico negativo

Los datos del enunciado son $P(A)=0{,}20$, $P(+|A)=0{,}95$ y $P(+|\overline{A})=0{,}005$, y de ellos se deducen los sucesos contrarios. El árbol del problema es:



$\textbf{a) Si escogemos 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias? (0,75 puntos)}$

Elegir cuatro personas al azar son cuatro pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, así que el número $X$ de personas con arritmia sigue una distribución binomial. Calculamos la probabilidad por el suceso contrario, que es un solo caso.

$X\sim B(4;\,0{,}20)$

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\binom{4}{0}\,(0{,}20)^{0}\,(0{,}80)^{4}$

$P(X\geq 1)=1-(0{,}80)^{4}=1-0{,}4096=0{,}5904$

La probabilidad de que al menos una de las cuatro personas padezca arritmias es $0{,}5904$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia? (0,75 puntos)}$

Una persona puede dar positivo por dos caminos del árbol: padeciendo arritmia y siendo detectada, o no padeciéndola y dando un falso positivo. Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(+)=P(A)\cdot P(+|A)+P(\overline{A})\cdot P(+|\overline{A})$

$P(+)=0{,}20\cdot 0{,}95+0{,}80\cdot 0{,}005=0{,}19+0{,}004=0{,}194$

La probabilidad de obtener un diagnóstico positivo es $0{,}194$.

$\textbf{c) Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias? (1 punto)}$

Ahora se conoce el resultado de la prueba y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes. Necesitamos la probabilidad de dar negativo, que es la complementaria de la del apartado anterior.

$P(-)=1-P(+)=1-0{,}194=0{,}806$

$P(A|-)=\dfrac{P(A)\cdot P(-|A)}{P(-)}$

$P(-|A)=1-P(+|A)=1-0{,}95=0{,}05$

$P(A|-)=\dfrac{0{,}20\cdot 0{,}05}{0{,}806}=\dfrac{0{,}01}{0{,}806}=\dfrac{5}{403}\approx 0{,}0124$

La probabilidad de que una persona con diagnóstico negativo padezca realmente arritmias es $\frac{5}{403}\approx 0{,}0124$, es decir, alrededor del 1,24 %.