Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Andrés pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa.



a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una detrás de la otra y sin reemplazamiento (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda).
— Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. [0,5 puntos]
— Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. [0,75 puntos]
b) Andrés vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de la otra, pero ahora con reemplazamiento (es decir, ahora sí que devuelve a la bolsa cada bola extraída antes de coger la siguiente).
— Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. [0,5 puntos]
— Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. [0,75 puntos]

En la bolsa hay nueve bolas: dos con la letra A, dos con la letra S y una con cada una de las letras B, Y, E, F y N.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. (0,5 puntos)}$

Sacar una A y sacar una E son sucesos incompatibles, así que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades. Aplicamos la regla de Laplace sobre las nueve bolas.

$P(A\cup E)=P(A)+P(E)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

La probabilidad de que la primera bola sea una A o una E es $\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. (0,75 puntos)}$

Es más corto calcular la probabilidad del suceso contrario, que las dos bolas lleven la misma letra. Eso solo puede ocurrir con las letras repetidas, A y S; si la primera bola es cualquiera de las otras cinco, la segunda es forzosamente distinta. Como la extracción es sin reemplazamiento, en la segunda extracción quedan ocho bolas.



$P(\text{misma letra})=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{72}+\dfrac{2}{72}=\dfrac{4}{72}=\dfrac{1}{18}$

$P(\text{diferentes})=1-P(\text{misma letra})=1-\dfrac{1}{18}=\dfrac{17}{18}\approx 0{,}9444$

La probabilidad de que las dos bolas sean diferentes es $\frac{17}{18}\approx 0{,}9444$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. (0,5 puntos)}$

Ahora la extracción es con reemplazamiento, así que las cinco extracciones son independientes y en todas ellas la probabilidad de sacar A es la misma. Si $X$ es el número de bolas con la letra A entre las cinco extraídas, $X$ sigue una distribución binomial.

$X\sim B\left(5,\dfrac{2}{9}\right)$

$P(X=0)=\binom{5}{0}\left(\dfrac{2}{9}\right)^{0}\left(\dfrac{7}{9}\right)^{5}=\left(\dfrac{7}{9}\right)^{5}=\dfrac{16807}{59049}\approx 0{,}2846$

La probabilidad de no sacar ninguna A en las cinco extracciones es $\frac{16807}{59049}\approx 0{,}2846$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. (0,75 puntos)}$

Sacar al menos dos A es el suceso contrario de sacar ninguna o una sola, de modo que basta restar de 1 esos dos casos.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=1)=\binom{5}{1}\left(\dfrac{2}{9}\right)^{1}\left(\dfrac{7}{9}\right)^{4}=5\cdot\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{2401}{6561}=\dfrac{24010}{59049}\approx 0{,}4066$

$P(X\geq 2)=1-\dfrac{16807}{59049}-\dfrac{24010}{59049}=\dfrac{18232}{59049}\approx 0{,}3088$

La probabilidad de sacar al menos dos A es $\frac{18232}{59049}\approx 0{,}3088$.