Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

Renfe opera un servicio Alvia entre Santiago de Compostela y Barcelona-Sants. Los datos históricos muestran que, en condiciones operativas habituales, el tiempo de viaje sigue una distribución normal con una media de 765 minutos y una desviación típica de 18 minutos.

Sin embargo, durante los meses de invierno es frecuente que se produzcan incidencias meteorológicas que obligan a reducir la velocidad en ciertos tramos de la ruta. Esto ocurre aproximadamente el 30 % de los días de la temporada. Cuando se activa el protocolo por incidencia, la distribución del tiempo de viaje sigue siendo normal, pero pasa a tener una media de 810 minutos y una desviación típica de 40 minutos.

La compañía ferroviaria define que existe un "retraso significativo" cuando el tiempo de viaje supera los 780 minutos en un día sin incidencias, o los 840 minutos en un día con incidencia meteorológica declarada.

Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.

(Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$): $P(Z \le 0{,}3) = 0{,}6179$, $P(Z \le 0{,}75) = 0{,}7734$, $P(Z \le 0{,}83) = 0{,}7967$, $P(Z \le 1{,}125) = 0{,}8697$, $P(Z \le 4{,}16) = 1$.)

1.1. Por el contexto, se sabe que $P(R \mid \bar{I}) = P(X > 780)$ y que $P(R \mid I) = P(Y > 840)$. Explique el significado de los sucesos $I$ y $R$ y de las variables aleatorias $X$ e $Y$. Luego, determine la probabilidad de que, seleccionando al azar un día de la temporada invernal, este tren Alvia experimente un retraso significativo según la definición de la compañía.

1.2. Calcule la probabilidad de que, en un día con incidencia meteorológica activa, el tren complete su viaje en un tiempo inferior a 765 minutos, que es el tiempo medio en condiciones habituales.

Nombramos los sucesos y las variables aleatorias que intervienen:

$I \equiv \text{el día tiene incidencia meteorológica declarada}$

$\bar I \equiv \text{el día transcurre en condiciones operativas habituales}$

$R \equiv \text{el tren sufre un retraso significativo}$

$X \equiv \text{tiempo de viaje, en minutos, en un día sin incidencia} \Rightarrow X \sim N(765,\,18)$

$Y \equiv \text{tiempo de viaje, en minutos, en un día con incidencia} \Rightarrow Y \sim N(810,\,40)$

$\textbf{1.1. Por el contexto, se sabe que } \boldsymbol{P(R \mid \bar{I}) = P(X > 780)}\textbf{ y que } \boldsymbol{P(R \mid I) = P(Y > 840)}\textbf{. Explique el significado de los sucesos } \boldsymbol{I}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{ y de las variables aleatorias } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{. Luego, determine la probabilidad de que, seleccionando al azar un día de la temporada invernal, este tren Alvia experimente un retraso significativo según la definición de la compañía.}$

Los sucesos y las variables son los que acabamos de nombrar. Las dos igualdades del enunciado recogen la definición de retraso significativo que da la compañía: en un día sin incidencia el umbral son 780 minutos y se mide sobre $X$, mientras que en un día con incidencia el umbral sube a 840 minutos y se mide sobre $Y$, que es otra normal distinta.

La incidencia se produce el 30 % de los días de la temporada, luego $P(I)=0{,}3$ y $P(\bar I)=0{,}7$. El árbol del problema es:



Obtenemos las dos probabilidades condicionadas tipificando cada variable, es decir, pasando de $X$ y de $Y$ a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$ mediante $Z=\frac{V-\mu}{\sigma}$.

$P(R\mid\bar I)=P(X>780)=P\left(Z>\dfrac{780-765}{18}\right)=P(Z>0{,}83)$

$P(R\mid\bar I)=1-P(Z\le 0{,}83)=1-0{,}7967=0{,}2033$

$P(R\mid I)=P(Y>840)=P\left(Z>\dfrac{840-810}{40}\right)=P(Z>0{,}75)$

$P(R\mid I)=1-P(Z\le 0{,}75)=1-0{,}7734=0{,}2266$

Los sucesos $I$ y $\bar I$ forman un sistema completo, de manera que podemos aplicar el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(\bar I)\cdot P(R\mid\bar I)+P(I)\cdot P(R\mid I)$

$P(R)=0{,}7\cdot 0{,}2033+0{,}3\cdot 0{,}2266=0{,}14231+0{,}06798=0{,}21029$

La probabilidad de que un día elegido al azar de la temporada invernal el Alvia sufra un retraso significativo es de 0,2103, es decir, algo más del 21 % de los días.

$\textbf{1.2. Calcule la probabilidad de que, en un día con incidencia meteorológica activa, el tren complete su viaje en un tiempo inferior a 765 minutos, que es el tiempo medio en condiciones habituales.}$

En un día con incidencia el tiempo de viaje viene descrito por $Y\sim N(810,\,40)$, de modo que la probabilidad pedida es $P(Y<765)$. Tipificamos igual que antes.

$P(Y<765)=P\left(Z<\dfrac{765-810}{40}\right)=P(Z<-1{,}125)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que usamos la simetría de la campana respecto de la media.

$P(Z<-1{,}125)=P(Z>1{,}125)=1-P(Z\le 1{,}125)=1-0{,}8697=0{,}1303$



En un día con incidencia meteorológica declarada, la probabilidad de que el tren complete el viaje en menos de 765 minutos es de 0,1303, esto es, poco más del 13 % de esos días.