Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)

CONTEXTO

En los últimos años, hay una tendencia que sigue en aumento: emplear calzado deportivo no únicamente para realizar actividad física, sino como calzado de uso diario. Los motivos principales son su versatilidad y comodidad, ya que pueden combinarse con casi cualquier atuendo al mismo tiempo que permiten realizar movimientos naturales.

Antón es un apasionado de este tipo de calzado, del que tiene 60 pares, guardando cada par en su correspondiente caja. El 80% son zapatillas tradicionales y el 20% zapatillas de diseño. Entre las zapatillas de diseño, el 75% están en buen estado, pero solo el 50% de las zapatillas tradicionales están en buen estado. Un día que se levantó con el tiempo justo, para no llegar tarde al trabajo, cogió al azar una caja y se calzó las zapatillas de esa caja.

Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.

1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o zapatillas en buen estado?

1.2. Al salir del trabajo, Antón decide ir al cine con dos amigos. Antón no quiere llevar calzadas zapatillas que no estén en buen estado ni zapatillas tradicionales, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga que pasar por su casa a cambiar las zapatillas?

1.3. Antón tiene 8 pares de zapatillas tradicionales de color blanco. Sabiendo que al escoger al azar una caja de sus zapatillas los sucesos "ser blancas" y "ser de diseño" son sucesos independientes, ¿cuántos pares de zapatillas blancas de diseño tiene Antón?

Nombramos los sucesos que intervienen al escoger una caja al azar:

$T \equiv \text{las zapatillas son tradicionales} \Rightarrow P(T)=0{,}80$

$D \equiv \text{las zapatillas son de diseño} \Rightarrow P(D)=0{,}20$

$B \equiv \text{las zapatillas están en buen estado}$

Del enunciado se leen además las probabilidades condicionadas $P(B\mid T)=0{,}50$ y $P(B\mid D)=0{,}75$. El árbol del problema es:



$\textbf{1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o zapatillas en buen estado?}$

Se pide la probabilidad de la unión de dos sucesos que no son incompatibles, así que hay que descontar la intersección.

$P(T\cup B)=P(T)+P(B)-P(T\cap B)$

Obtenemos $P(B)$ por el teorema de la probabilidad total, ya que $T$ y $D$ forman un sistema completo.

$P(B)=P(T)\cdot P(B\mid T)+P(D)\cdot P(B\mid D)=0{,}80\cdot 0{,}50+0{,}20\cdot 0{,}75$

$P(B)=0{,}40+0{,}15=0{,}55$

$P(T\cap B)=P(T)\cdot P(B\mid T)=0{,}80\cdot 0{,}50=0{,}40$

$P(T\cup B)=0{,}80+0{,}55-0{,}40=0{,}95$

La probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o en buen estado es de 0,95, es decir, el 95 % de las mañanas.

$\textbf{1.2. Al salir del trabajo, Antón decide ir al cine con dos amigos. Antón no quiere llevar calzadas zapatillas que no estén en buen estado ni zapatillas tradicionales, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga que pasar por su casa a cambiar las zapatillas?}$

Antón no tendrá que cambiarse cuando lo que calza no sea ninguna de las dos cosas que rechaza: ni zapatillas en mal estado ni zapatillas tradicionales. Es decir, el suceso favorable es el contrario de $\bar B\cup T$, y por las leyes de De Morgan:

$\overline{\bar B\cup T}=B\cap\bar T=B\cap D$

Se trata entonces de que las zapatillas sean de diseño y estén en buen estado, que es una de las ramas del árbol.

$P(B\cap D)=P(D)\cdot P(B\mid D)=0{,}20\cdot 0{,}75=0{,}15$

La probabilidad de que Antón no tenga que pasar por casa a cambiarse es de 0,15, esto es, solo el 15 % de los días.

$\textbf{1.3. Antón tiene 8 pares de zapatillas tradicionales de color blanco. Sabiendo que al escoger al azar una caja de sus zapatillas los sucesos “ser blancas” y “ser de diseño” son sucesos independientes, ¿cuántos pares de zapatillas blancas de diseño tiene Antón?}$

Antón tiene 60 pares en total, de los que el 20 % son de diseño, es decir, $0{,}20\cdot 60=12$ pares de diseño y 48 tradicionales. Llamamos $x$ al número de pares blancos de diseño que buscamos; entonces los pares blancos son $8+x$ y, contando casos favorables entre posibles:

$P(\text{Bl})=\dfrac{8+x}{60} \qquad P(D)=\dfrac{12}{60} \qquad P(\text{Bl}\cap D)=\dfrac{x}{60}$

Que los dos sucesos sean independientes significa que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(\text{Bl}\cap D)=P(\text{Bl})\cdot P(D) \Rightarrow \dfrac{x}{60}=\dfrac{8+x}{60}\cdot\dfrac{12}{60}$

$x=\dfrac{8+x}{5} \Rightarrow 5x=8+x \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2$

Antón tiene 2 pares de zapatillas blancas de diseño. Se comprueba la independencia: los pares blancos serían 10, de modo que $P(\text{Bl})=\tfrac{10}{60}=\tfrac16$ y $P(\text{Bl})\cdot P(D)=\tfrac16\cdot\tfrac15=\tfrac{1}{30}=\tfrac{2}{60}=P(\text{Bl}\cap D)$.