Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)

CONTEXTO

Las cafeterías universitarias son espacios en los que, además de poder consumir alimentos y bebidas, en numerosas ocasiones se emplean como puntos de encuentro para otros eventos. Según los datos recogidos por la dirección de la cafetería de una facultad, el 65% de sus clientes son estudiantes, el 25% personal de la universidad y el 10% restante son personas ajenas a la universidad.

Con el objetivo de estudiar si es necesario realizar modificaciones en la cafetería, sus responsables han analizado datos sobre el tiempo de espera hasta que un cliente ha sido atendido y sobre la forma de realizar los pagos. Puede suponerse que el tiempo de espera hasta que un cliente es atendido sigue una distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos y de tal modo que el 90% de los clientes son atendidos antes de 8 minutos. Por los datos recogidos, han llegado a la conclusión de que el 30% de los estudiantes efectúan los pagos en efectivo, siendo este porcentaje igual al 70% para el personal de la universidad, mientras que el 80% de los pagos realizados por personas ajenas a la universidad se hacen en efectivo.

Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.

1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?

1.2. Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.

1.3. Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?

Nombramos los sucesos y la variable que intervienen:

$E \equiv \text{el cliente es estudiante} \Rightarrow P(E)=0{,}65$

$U \equiv \text{el cliente es personal de la universidad} \Rightarrow P(U)=0{,}25$

$A \equiv \text{el cliente es ajeno a la universidad} \Rightarrow P(A)=0{,}10$

$F \equiv \text{el pago se realiza en efectivo}$

$T \equiv \text{tiempo de espera, en minutos, hasta ser atendido}$

$\textbf{1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?}$

El tiempo de espera sigue una normal de media 5 minutos y desviación típica desconocida, $T\sim N(5,\sigma)$. El dato de que el 90 % de los clientes son atendidos antes de 8 minutos es el que permite despejar $\sigma$.

$P(T<8)=0{,}90 \Rightarrow P\left(Z<\dfrac{8-5}{\sigma}\right)=0{,}90$

En la tabla de la normal estándar, $P(Z\le 1{,}28)=0{,}90$, de modo que:

$\dfrac{3}{\sigma}=1{,}28 \Rightarrow \sigma=\dfrac{3}{1{,}28}=2{,}34\ \text{minutos}$

Con la desviación típica ya conocida, tipificamos el valor pedido.

$P(T<4)=P\left(Z<\dfrac{4-5}{2{,}34}\right)=P(Z<-0{,}43)$

Como la tabla solo recoge valores positivos, aplicamos la simetría de la campana.

$P(Z<-0{,}43)=P(Z>0{,}43)=1-P(Z\le 0{,}43)=1-0{,}6664=0{,}3336$



La probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos es de 0,3336, es decir, algo más de un tercio de los clientes.

$\textbf{1.2. Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.}$

Los tres tipos de cliente forman un sistema completo de sucesos, así que el árbol del problema es:



Calculamos primero la probabilidad de que el pago sea en efectivo aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(E)\cdot P(F\mid E)+P(U)\cdot P(F\mid U)+P(A)\cdot P(F\mid A)$

$P(F)=0{,}65\cdot 0{,}30+0{,}25\cdot 0{,}70+0{,}10\cdot 0{,}80$

$P(F)=0{,}195+0{,}175+0{,}080=0{,}45$

El suceso pedido es el contrario de este.

$P(\bar F)=1-P(F)=1-0{,}45=0{,}55$

La probabilidad de que un pago en la cafetería no se haya hecho en efectivo es de 0,55, esto es, el 55 % de los pagos.

$\textbf{1.3. Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?}$

Ahora conocemos el resultado (el pago fue en efectivo) y preguntamos por la causa, de modo que aplicamos el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada, $P(F)=0{,}45$.

$P(E\mid F)=\dfrac{P(E)\cdot P(F\mid E)}{P(F)}=\dfrac{0{,}65\cdot 0{,}30}{0{,}45}=\dfrac{0{,}195}{0{,}45}=\dfrac{13}{30}\approx 0{,}4333$

$P(U\mid F)=\dfrac{P(U)\cdot P(F\mid U)}{P(F)}=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}70}{0{,}45}=\dfrac{0{,}175}{0{,}45}=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}3889$

Como $0{,}4333>0{,}3889$, es más probable que el pago en efectivo lo haya realizado un estudiante que un miembro del personal de la universidad.