Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2025

EJERCICIO OBLIGATORIO (2,5 puntos).
Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del 2,65 % respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe “Las cifras del cáncer en España 2024”, elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN).
La estimación por edad y sexo es la siguiente: 5,56 % menores de 45 años, de los cuales el 62,86 % son mujeres; 59,77 % mayores de 65 años, de los cuales el 39,11 % son mujeres; del resto, el 42,25 % son mujeres.

(a) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.
(b) (0,75 puntos) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.
(c) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.
(d) (0,25 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores.

Clasificamos a los enfermos por tramos de edad. Llamamos $J$ al suceso «tener menos de 45 años», $I$ al suceso «tener entre 45 y 65 años» y $G$ al suceso «tener más de 65 años»; y llamamos $M$ al suceso «ser mujer». El porcentaje del tramo intermedio no viene dado y se obtiene por diferencia:

$P(I)=1-0{,}0556-0{,}5977=0{,}3467$

Con eso, los datos del enunciado se organizan en el siguiente árbol:



$\textbf{(a) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.}$

Los tres tramos de edad forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se recorre cada rama del árbol que acaba en $M$ y se suman los productos.

$P(M)=P(J)\,P(M|J)+P(I)\,P(M|I)+P(G)\,P(M|G)$

$=0{,}0556\cdot0{,}6286+0{,}3467\cdot0{,}4225+0{,}5977\cdot0{,}3911$

$=0{,}0350+0{,}1465+0{,}2338=0{,}4152$

La probabilidad de que una persona con cáncer elegida al azar sea mujer es $0{,}4152$, es decir, un $41{,}52\%$.

$\textbf{(b) (0,75 puntos) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.}$

Ahora interesa una sola rama del árbol, la que pasa por $G$ y acaba en $M$. Su probabilidad es el producto de las dos ramas:

$P(G\cap M)=P(G)\,P(M|G)=0{,}5977\cdot0{,}3911=0{,}2338$

Multiplicando por el total de casos diagnosticados:

$N=286\,664\cdot0{,}2338=67\,010{,}7$

Cabe esperar unas $67\,011$ mujeres mayores de 65 años entre los diagnosticados de cáncer en 2024.

$\textbf{(c) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.}$

El dato que se conoce ahora es que la persona es mujer, y se pregunta por su edad: es una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, de modo que se aplica el teorema de Bayes. Tener 65 años o menos equivale a estar en $J$ o en $I$, que son sucesos incompatibles.

$P(J\cup I\,|\,M)=\dfrac{P(J\cap M)+P(I\cap M)}{P(M)}$

$=\dfrac{0{,}0556\cdot0{,}6286+0{,}3467\cdot0{,}4225}{0{,}4152}=\dfrac{0{,}0350+0{,}1465}{0{,}4152}$

$=\dfrac{0{,}1815}{0{,}4152}=0{,}4370$

Sabiendo que la persona elegida es una mujer, la probabilidad de que tenga 65 años o menos es $0{,}4370$, es decir, un $43{,}70\%$.

$\textbf{(d) (0,25 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea?}$

Basta comparar la probabilidad obtenida en el apartado (a) con la de su suceso contrario, que se calcula por diferencia al uno.

$P(\overline{M})=1-P(M)=1-0{,}4152=0{,}5848$

$0{,}5848>0{,}4152\Rightarrow P(\overline{M})>P(M)$

Es más probable que la persona elegida no sea mujer: hay un $58{,}48\%$ frente a un $41{,}52\%$.