Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Una hoja de papel debe contener $18{\text{cm}}^2$ de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm y los laterales 1 cm. Dar las dimensiones de una hoja de modo que el gasto de papel sea mínimo.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a la anchura del texto impreso e $y$ a su altura, en cm. La ligadura es el área impresa:
$xy=18\Rightarrow y={\displaystyle \frac{18}{x}}$
La hoja añade 1 cm a cada lado en anchura y 2 cm arriba y abajo en altura: mide $(x+2)$ por $(y+4)$. Su área, que hay que hacer mínima, en función de $x$:
$S(x)=(x+2)(y+4)=(x+2)({\displaystyle \frac{18}{x}}+4)=18+4x+{\displaystyle \frac{36}{x}}+8=4x+{\displaystyle \frac{36}{x}}+26$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=4-{\displaystyle \frac{36}{x^2}}$
y se iguala a cero:
$4-{\displaystyle \frac{36}{x^2}}=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$
(la raíz negativa no tiene sentido).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{72}{x^3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{72}{27}}={\displaystyle \frac{8}{3}}>0$
así que es un mínimo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
El texto mide $3$ cm de ancho por $y={\displaystyle \frac{18}{3}}=6$ cm de alto; la hoja, $3+2=5$ cm por $6+4=10$ cm, con área mínima $S(3)=5\cdot 10=50$ cm².
$\boxed{{\displaystyle \text{hoja de }5\text{ cm}\times 10\text{ cm}}}$