Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Una hoja de papel mide $2{\text{m}}^2$. Los márgenes superior e inferior miden 20 cm y los laterales 12 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones si la parte impresa es máxima?

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a la anchura de la hoja e $y$ a su altura, en metros. La ligadura es el área de la hoja:
$xy=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2}{x}}$
Los márgenes quitan 12 cm por cada lado en anchura ($2\cdot \mathrm{0,12}=\mathrm{0,24}$ m, que es ${\displaystyle \frac{6}{25}}$) y 20 cm arriba y abajo en altura ($2\cdot \mathrm{0,20}=\mathrm{0,40}$ m, es decir ${\displaystyle \frac{2}{5}}$). La parte impresa, que hay que hacer máxima, en función de $x$:
$A(x)=(x-{\displaystyle \frac{6}{25}})(y-{\displaystyle \frac{2}{5}})=(x-{\displaystyle \frac{6}{25}})({\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})=2-{\displaystyle \frac{2}{5}}x-{\displaystyle \frac{12}{25x}}+{\displaystyle \frac{12}{125}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{12}{25x^2}}$
y se iguala a cero:
$-{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{12}{25x^2}}=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{12}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\Rightarrow x=\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{5}}$
(solo vale la raíz positiva).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{24}{25x^3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}\right)=-{\displaystyle \frac{24}{25{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}\right)}^3}}=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{30}}{15}}<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La altura de la hoja es $y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}}}=2\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{6}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{20}{6}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{10}{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{3}}$ m.
$\boxed{{\displaystyle \text{anchura }\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}\text{ m}\approx \mathrm{1,10}\text{ m},\text{altura }\sqrt{{\displaystyle \frac{10}{3}}}\text{ m}\approx \mathrm{1,83}\text{ m}}}$
La parte impresa máxima mide $A=(\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{5}}}-{\displaystyle \frac{6}{25}})(\sqrt{{\displaystyle \frac{10}{3}}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})\approx \mathrm{1,22}$ m².