Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ al número ($x>0$); su inverso es ${\displaystyle \frac{1}{x}}$. Aquí no hay ligadura: la suma ya depende de una sola variable.
$S(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$
y se iguala a cero:
$1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1$
(la raíz $x=-1$ no vale: el número es positivo).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{x^3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{2}{1^3}}=2>0$
así que es un mínimo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La suma mínima es $S(1)=1+{\displaystyle \frac{1}{1}}=2$.
$\boxed{{\displaystyle x=1}}$