Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Hallar dos números positivos que sumen 21 y tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ al número que va sin elevar e $y$ al que va al cuadrado. De la suma se despeja $y$:
$x+y=21\Rightarrow y=21-x$
El producto que hay que hacer máximo, en función de $x$ (los dos números son positivos, así que $0<x<21$):
$P(x)=x{y}^2=x(21-x{)}^2$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$P^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot (21-x{)}^2+x\cdot 2(21-x)\cdot (-1)=(21-x)[(21-x)-2x]=(21-x)(21-3x)$
y se iguala a cero:
$(21-x)(21-3x)=0\Rightarrow x=21,x=7$
La solución $x=21$ da $y=0$ y producto cero (y no es positivo): el candidato es $x=7$.


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1\cdot (21-3x)+(21-x)\cdot (-3)=6x-84$
y se mira su signo en el punto crítico:
$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(7)=6\cdot 7-84=-42<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
El otro número es $y=21-7=14$, y el producto máximo, $P(7)=7\cdot {14}^2=1372$.
$\boxed{{\displaystyle x=7,y=14}}$