Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

De todos los triángulos isósceles de perímetro 18 cm, calcular las dimensiones del que tiene área máxima.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a cada uno de los lados iguales; entonces la base mide $18-2x$ (el perímetro es 18). La altura parte la base por la mitad, y por Pitágoras en uno de los dos triángulos rectángulos que quedan:
$h=\sqrt{x^2-{\left({\displaystyle \frac{18-2x}{2}}\right)}^2}=\sqrt{x^2-(9-x{)}^2}=\sqrt{18x-81}$
El área, en función de $x$ (para que exista el triángulo, ${\displaystyle \frac{9}{2}}<x<9$):
$A(x)={\displaystyle \frac{(18-2x)h}{2}}=(9-x)\sqrt{18x-81}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sqrt{18x-81}+(9-x)\cdot {\displaystyle \frac{18}{2\sqrt{18x-81}}}={\displaystyle \frac{-(18x-81)+9(9-x)}{\sqrt{18x-81}}}={\displaystyle \frac{162-27x}{\sqrt{18x-81}}}$
y se iguala a cero:
${\displaystyle \frac{162-27x}{\sqrt{18x-81}}}=0\Rightarrow 162-27x=0\Rightarrow x=6$


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-27\sqrt{18x-81}-(162-27x)\cdot {\displaystyle \frac{9}{\sqrt{18x-81}}}}{18x-81}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)={\displaystyle \frac{-27\sqrt{27}-0}{27}}=-3\sqrt{3}<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
Con $x=6$ la base mide $18-2\cdot 6=6$: los tres lados son iguales. El triángulo de área máxima es el equilátero de lado 6 cm, con altura $h=\sqrt{18\cdot 6-81}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm y área $A(6)=3\sqrt{27}=9\sqrt{3}$ cm².
$\boxed{{\displaystyle \text{equil}\acute{\text{a}}\text{tero de lado }6\text{ cm}}}$