Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 10 cm. Hallar la longitud de la base (lado desigual) si el área es máxima.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a la base. La altura parte la base en dos mitades, y por Pitágoras en uno de los dos triángulos rectángulos:
$h=\sqrt{{10}^2-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}=\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}$
El área, en función de $x$ (con $0<x<20$):
$A(x)={\displaystyle \frac{xh}{2}}={\displaystyle \frac{x}{2}}\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{x}{2}}}{2\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}{2\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{100-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}{2\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}}}$
y se iguala a cero:
$100-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}=0\Rightarrow x^2=200\Rightarrow x=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
(solo vale la raíz positiva).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-x\cdot 2\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}-(100-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})\cdot {\displaystyle \frac{-x}{2\sqrt{100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}}}}{4(100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(10\sqrt{2}\right)={\displaystyle \frac{-10\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{50}-0}{4\cdot 50}}=-1<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
Con $x=10\sqrt{2}$ la altura es $h=\sqrt{100-{\displaystyle \frac{200}{4}}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm: la base es el doble de la altura, así que el triángulo es rectángulo en el vértice. El área máxima es $A={\displaystyle \frac{10\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}{2}}=50$ cm².
$\boxed{{\displaystyle \text{base}=10\sqrt{2}\text{ cm}\approx 7+\sqrt{51}\text{ cm}}}$