Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Hallar dos números cuya suma sea 14 y tal que su producto sea máximo.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ e $y$ a los dos números. La condición que los liga es la suma, y de ella se despeja uno en función del otro:
$x+y=14\Rightarrow y=14-x$
La magnitud que hay que hacer máxima es el producto, que así queda en función solo de $x$:
$P(x)=xy=x(14-x)=14x-x^2$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$P^{\mathrm{\prime }}(x)=14-2x$
y se iguala a cero:
$14-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{14}{2}}=7$


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2$
y se mira su signo en el punto crítico:
$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(7)=-2<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
El otro número es $y=14-7=7$, y el producto máximo, $P(7)=7\cdot 7=49$.
$\boxed{{\displaystyle x=7,y=7}}$