Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 cm, ¿qué base tiene el de área máxima?

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a la base y $h$ a la altura, en cm. La ligadura es la suma:
$x+h=20\Rightarrow h=20-x$
El área del triángulo, que hay que hacer máxima, en función de $x$ (con $0<x<20$):
$A(x)={\displaystyle \frac{xh}{2}}={\displaystyle \frac{x(20-x)}{2}}=10x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)=10-x$
y se iguala a cero:
$10-x=0\Rightarrow x=10$


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)=-1<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La altura es $h=20-10=10$ cm, igual que la base, y el área máxima $A(10)={\displaystyle \frac{10\cdot 10}{2}}=50$ cm².
$\boxed{{\displaystyle \text{base}=10\text{ cm}}}$