Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Calcular las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima inscrito en una circunferencia de radio $R$.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Colocamos el vértice del triángulo en el punto más alto de la circunferencia y la base, horizontal, a una altura $x$ por debajo de él ($0<x<2R$). El centro está a $R$ del vértice, así que la base está a distancia $x-R$ del centro, y por Pitágoras la mitad de la base mide:
${\displaystyle \frac{b}{2}}=\sqrt{R^2-(x-R{)}^2}=\sqrt{2Rx-x^2}$
El área, en función de la altura $x$:
$A(x)={\displaystyle \frac{bx}{2}}=x\sqrt{2Rx-x^2}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{2Rx-x^2}+x\cdot {\displaystyle \frac{2R-2x}{2\sqrt{2Rx-x^2}}}={\displaystyle \frac{2Rx-x^2+Rx-x^2}{\sqrt{2Rx-x^2}}}={\displaystyle \frac{3Rx-2x^2}{\sqrt{2Rx-x^2}}}$
y se iguala a cero:
$3Rx-2x^2=0\Rightarrow x(3R-2x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3R}{2}}$
($x=0$ es el triángulo degenerado de área cero).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(3R-4x)\sqrt{2Rx-x^2}-(3Rx-2x^2)\cdot {\displaystyle \frac{R-x}{\sqrt{2Rx-x^2}}}}{2Rx-x^2}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{3R}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-3R\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}R-0}{{\displaystyle \frac{3}{4}}{R}^2}}=-2\sqrt{3}<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La altura es $h={\displaystyle \frac{3R}{2}}$ y la base:
$b=2\sqrt{2R\cdot {\displaystyle \frac{3R}{2}}-{\left({\displaystyle \frac{3R}{2}}\right)}^2}=2\sqrt{3R^2-{\displaystyle \frac{9R^2}{4}}}=2\sqrt{{\displaystyle \frac{3R^2}{4}}}=\sqrt{3}R$
Los lados iguales miden $\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2+h^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3R^2}{4}}+{\displaystyle \frac{9R^2}{4}}}=\sqrt{3}R$: el triángulo de área máxima inscrito es el equilátero.
$\boxed{{\displaystyle b=\sqrt{3}Rh={\displaystyle \frac{3R}{2}}}}$