Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Una persona quiere comprar un terreno rectangular de $200{\text{m}}^2$ de extensión. Dar las dimensiones del rectángulo más conveniente para que la longitud del cercado sea la menor posible.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ e $y$ a los lados, en metros. La ligadura es el área:
$xy=200\Rightarrow y={\displaystyle \frac{200}{x}}$
El cercado es el perímetro, que hay que hacer mínimo, en función de $x$:
$L(x)=2x+2y=2x+{\displaystyle \frac{400}{x}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$L^{\mathrm{\prime }}(x)=2-{\displaystyle \frac{400}{x^2}}$
y se iguala a cero:
$2-{\displaystyle \frac{400}{x^2}}=0\Rightarrow x^2=200\Rightarrow x=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
(solo la raíz positiva tiene sentido).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{800}{x^3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(10\sqrt{2}\right)={\displaystyle \frac{800}{{\left(10\sqrt{2}\right)}^3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}>0$
así que es un mínimo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
El otro lado es $y={\displaystyle \frac{200}{10\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{20}{\sqrt{2}}}=10\sqrt{2}$ m: el terreno más conveniente es el cuadrado de lado $10\sqrt{2}\approx \mathrm{14,14}$ m, con $L=4\cdot 10\sqrt{2}=40\sqrt{2}\approx \mathrm{56,57}$ m de cercado.
$\boxed{{\displaystyle \text{cuadrado de lado }10\sqrt{2}\text{ m}\approx \mathrm{14,14}\text{ m}}}$