Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Se quiere construir un marco para un ventanal que debe ser de $400{\text{m}}^2$ de área. El coste del marco se estima en 1,25 € por cada metro de altura de ventana y en 0,8 € por cada metro de anchura. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más barato?

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Llamamos $x$ a la anchura e $y$ a la altura, en metros. La ligadura es el área:
$xy=400\Rightarrow y={\displaystyle \frac{400}{x}}$
El marco tiene dos lados horizontales (anchura, a 0,8 €/m) y dos verticales (altura, a 1,25 €/m). Su coste, que hay que hacer mínimo, en función de $x$:
$G(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{8}{10}}x+2\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}y={\displaystyle \frac{8}{5}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{400}{x}}={\displaystyle \frac{8}{5}}x+{\displaystyle \frac{1000}{x}}$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$G^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{8}{5}}-{\displaystyle \frac{1000}{x^2}}$
y se iguala a cero:
${\displaystyle \frac{8}{5}}-{\displaystyle \frac{1000}{x^2}}=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{5000}{8}}=625\Rightarrow x=25$
(la raíz negativa no tiene sentido).


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2000}{x^3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(25)={\displaystyle \frac{2000}{{25}^3}}={\displaystyle \frac{16}{125}}>0$
así que es un mínimo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La altura es $y={\displaystyle \frac{400}{25}}=16$ m. El marco más barato mide 25 m de ancho por 16 m de alto, y cuesta $G(25)={\displaystyle \frac{8}{5}}\cdot 25+{\displaystyle \frac{1000}{25}}=40+40=80$ €.
$\boxed{{\displaystyle \text{anchura }25\text{ m},\text{altura }16\text{ m}}}$