Ejercicio resuelto de Problemas de optimización · Matemáticas I

Un espejo plano rectangular de 80 cm × 90 cm se rompe por una esquina según una recta. De los dos trozos que quedan, el menor tiene la forma de un triángulo rectángulo de catetos 10 y 12 cm correspondientes a las dimensiones menor y mayor del espejo. Hallar las dimensiones del espejo rectangular de área máxima que se puede obtener con el trozo mayor.

Para hallar el valor máximo o mínimo de una magnitud se escribe esa magnitud en función de UNA sola variable (usando la relación que liga a las demás con ella), se deriva y se iguala la derivada a cero: los valores que la anulan son los candidatos. Con la segunda derivada se decide si cada candidato es un máximo o un mínimo:
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=0}}$
$\boxed{{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}}}$





$\mathbf{\text{Planteamiento:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{optimizar}}$
Colocamos el espejo con el lado de 90 cm horizontal, el origen en la esquina inferior izquierda y la esquina rota arriba a la izquierda. La recta de rotura une el punto $(0,70)$ del lado izquierdo (a 10 cm de la esquina) con el $(12,80)$ del lado de arriba (a 12 cm): su pendiente es ${\displaystyle \frac{80-70}{12-0}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, y su ecuación,
$y=70+{\displaystyle \frac{5}{6}}x(0\le x\le 12)$
El rectángulo más grande apoya un vértice en esa recta, en un punto $(x,y)$, y se extiende hasta el lado derecho (anchura $90-x$) y hasta el lado de abajo (altura $y$). Su área, en función de $x$:
$A(x)=(90-x)y=(90-x)(70+{\displaystyle \frac{5}{6}}x)=6300+75x-70x-{\displaystyle \frac{5}{6}}{x}^2=6300+5x-{\displaystyle \frac{5}{6}}{x}^2$


$\mathbf{\text{Puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos:}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva la función:
$A^{\mathrm{\prime }}(x)=5-{\displaystyle \frac{5}{3}}x$
y se iguala a cero:
$5-{\displaystyle \frac{5}{3}}x=0\Rightarrow x=3$


$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva otra vez:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$
y se mira su signo en el punto crítico:
$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}<0$
así que es un máximo.


$\mathbf{\text{Soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
Con $x=3$ la altura del vértice es $y=70+{\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot 3=70+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{145}{2}}$ cm, y la anchura $90-3=87$ cm. El área máxima es $A(3)=87\cdot {\displaystyle \frac{145}{2}}={\displaystyle \frac{12615}{2}}$ cm².
$\boxed{{\displaystyle 87\text{ cm}\times {\displaystyle \frac{145}{2}}\text{ cm}=87\text{ cm}\times \mathrm{72,5}\text{ cm}}}$