Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x({\ln }^{3}x-2{\ln }^{2}x-\ln x+2)}}dx}$
c) ${\displaystyle \int \mathrm{sen}\sqrt{3x}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-4x+13}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ Es de tipo arco seno. Se saca factor común 2 dentro de la raíz para dejar la forma ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-f(x{)}^2}}}$:
$2-x^2=2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})⟹{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}\right)}^2}}}$
Con $f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}$ y $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ la constante encaja exactamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}dx=\mathrm{arcsen}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}x}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El cambio $\ln x=t$ la convierte en racional, porque $dt={\displaystyle \frac{dx}{x}}$ y esa ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ está en el integrando:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{t^3-2t^2-t+2}}}$
Se factoriza el denominador:
$t^3-2t^2-t+2=(t-2)(t-1)(t+1)$
y se descompone en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{1}{3(t-2)}}+{\displaystyle \frac{1}{6(t+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{2(t-1)}}$
Integrando y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x({\ln }^{3}x-2{\ln }^{2}x-\ln x+2)}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\ln \mid \ln x-2\mid +{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \mid \ln x+1\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid \ln x-1\mid +C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Primero un cambio de variable para quitar la raíz, y después por partes.
Con $t=\sqrt{3x}⟹t^2=3x⟹dx={\displaystyle \frac{2t}{3}}dt$:
${\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int t\mathrm{sen}tdt}$
Y esta es por partes, con $u=t$ y $dv=\mathrm{sen}tdt$:
${\displaystyle \frac{2}{3}}(-t\cos t+\mathrm{sen}t)$
Deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int \mathrm{sen}\sqrt{3x}dx={\displaystyle \frac{2(\mathrm{sen}\sqrt{3x}-\sqrt{3x}\cos \sqrt{3x})}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Racional con los dos grados iguales: primero la división.
${\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-4x+13}}=1+{\displaystyle \frac{4x-12}{x^2-4x+13}}$
El denominador no tiene raíces reales, así que el resto es neperiano-arco tangente. Su derivada es $2x-4$:
$4x-12=2(2x-4)-4$
y completando cuadrados para el arco tangente:
$x^2-4x+13={(x-2)}^2+9=9(1+{\left({\displaystyle \frac{x-2}{3}}\right)}^2)$
Juntando los tres trozos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-4x+13}}dx=x+2\ln (x^2-4x+13)-{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x-2}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se simplifica el integrando antes de nada, usando $1-{\mathrm{sen}}^{2}x={\cos }^{2}x$:
${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}$
y lo que queda es de tipo logarítmico, porque arriba está la derivada de abajo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx=-\ln ({\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+1)+\ln (\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}})+C}$