Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int x\ln (x+1)dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\ln }^{3}x}{x}}dx}$
c) ${\displaystyle \int \mathrm{sen}(\ln x)dx}$
d) ${\displaystyle \int x[\ln (x^2+1)-e^{-x}]dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+2x}{1+x^2}}dx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ Por partes, con $u=\ln (x+1)$ y $dv=xdx$. Conviene tomar $v={\displaystyle \frac{x^2-1}{2}}$ en vez de ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ (las primitivas se diferencian en una constante, y esta simplifica la división de después):
$du={\displaystyle \frac{dx}{x+1}}v={\displaystyle \frac{x^2-1}{2}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{2}}$
Aplicando la fórmula, el $x+1$ se cancela:
${\displaystyle \frac{(x^2-1)\ln (x+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int (x-1)dx}$
y lo que queda es inmediato:
${\displaystyle \int x\ln (x+1)dx={\displaystyle \frac{x^2\ln (x+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Es inmediata de tipo potencial, con $f(x)=\ln x$ y $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, que está justo en el integrando:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\ln }^{3}x}{x}}dx={\displaystyle \frac{{\ln }^{4}x}{4}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Se resuelve por iteración: por partes dos veces hasta que reaparezca la integral de partida.
Llamamos $I={\displaystyle \int \mathrm{sen}(\ln x)dx}$ y tomamos $u=\mathrm{sen}(\ln x)$, $dv=dx$:
$I=x\mathrm{sen}(\ln x)-{\displaystyle \int \cos (\ln x)dx}$
Otra vez por partes en la nueva integral:
${\displaystyle \int \cos (\ln x)dx=x\cos (\ln x)+I}$
Sustituyendo y despejando:
$I=x\mathrm{sen}(\ln x)-x\cos (\ln x)-I⟹2I=x(\mathrm{sen}(\ln x)-\cos (\ln x))$
${\displaystyle \int \mathrm{sen}(\ln x)dx={\displaystyle \frac{x(\mathrm{sen}(\ln x)-\cos (\ln x))}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Se separa en dos integrales, cada una con su método:
${\displaystyle \int x\ln (x^2+1)dx-{\displaystyle \int x{e}^{-x}dx}}$
La primera, por partes con $u=\ln (x^2+1)$ y $v={\displaystyle \frac{x^2+1}{2}}$ (otra vez la constante elegida a conveniencia):
${\displaystyle \frac{(x^2+1)\ln (x^2+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
La segunda, por partes con $u=x$ y $dv=e^{-x}dx$:
${\displaystyle \int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}}$
Restando:
${\displaystyle \int x[\ln (x^2+1)-e^{-x}]dx={\displaystyle \frac{x^2\ln (x^2+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+(x+1)e^{-x}+{\displaystyle \frac{\ln (x^2+1)}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se parte en dos trozos, cada uno de un tipo:
${\displaystyle \frac{1+2x}{1+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}+{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$
El primero es un arco tangente inmediato y el segundo, un logaritmo (arriba está la derivada de abajo):
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+2x}{1+x^2}}dx=\ln (x^2+1)+\mathrm{arctg}x+C}$