Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x+1}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+9}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{7+2\mathrm{tg}x}}{{\cos }^{2}x}}dx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ Racional con el mismo grado arriba y abajo: hay que hacer la división.
${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=-1+{\displaystyle \frac{2}{1-x}}$
e integrando los dos trozos (ojo al signo de la derivada de $1-x$):
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}dx=-x-2\ln \mid 1-x\mid +C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Racional con más grado arriba: se hace la división.
${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x+1}}=x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$
y los dos trozos son inmediatos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x+1}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+\ln (x+1)+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Racional con más grado arriba: división.
${\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}=x+1+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$
e integrando:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+2\ln \mid x-1\mid +C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ De tipo logarítmico: la derivada del denominador es $2x$, y arriba hay $x$, así que solo falta el 2. Se multiplica y se divide por él para que aparezca la derivada exacta, y el ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ se queda delante del logaritmo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+9}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+9}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+9)+C}}$
Es decir:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+9}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+9)+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Inmediata de tipo potencial, con $f(x)=7+2\mathrm{tg}x$, cuya derivada es ${\displaystyle \frac{2}{{\cos }^{2}x}}$: está en el integrando salvo el 2.
$={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {(7+2\mathrm{tg}x)}^{1\mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{2}{{\cos }^{2}x}}dx}$
Aplicando la regla de la potencia:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{7+2\mathrm{tg}x}}{{\cos }^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{{(7+2\mathrm{tg}x)}^3}}{3}}+C}$