Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{(x-1)}^2}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-1}{3x^2-6x+5}}dx}$
c) ${\displaystyle \int (x-1)e^{x}dx}$
d) ${\displaystyle \int (x^2-2x-3)\ln xdx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}dx}$
f) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}}dx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ Es inmediata de tipo potencial: se escribe como potencia con $f(x)=x-1$, cuya derivada es 1, así que no hay nada que ajustar:
${\displaystyle \frac{1}{{(x-1)}^2}}={(x-1)}^{-2}$
Aplicando la regla de la potencia:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{(x-1)}^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Es de tipo logarítmico: la derivada del denominador es $6x-6=6(x-1)$, que es el numerador salvo la constante 6:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-1}{3x^2-6x+5}}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x-6}{3x^2-6x+5}}dx}}$
Y aplicando la regla del logaritmo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-1}{3x^2-6x+5}}dx={\displaystyle \frac{\ln (3x^2-6x+5)}{6}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Es un producto de un polinomio por una exponencial: por partes, tomando como $u$ el polinomio (que se simplifica al derivar):
$u=x-1⟹du=dxdv=e^{x}dx⟹v=e^x$
Aplicando la fórmula:
$(x-1)e^x-{\displaystyle \int e^{x}dx=(x-1)e^x-e^x}$
y agrupando:
${\displaystyle \int (x-1)e^{x}dx=(x-2)e^x+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Hay un logaritmo multiplicando: por partes, y aquí $u$ tiene que ser el logaritmo (el polinomio se sabe integrar, el logaritmo no):
$u=\ln x⟹du={\displaystyle \frac{dx}{x}}dv=(x^2-2x-3)dx⟹v={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-3x$
Aplicando la fórmula, la integral que queda es de un polinomio:
$v\ln x-{\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{x^2}{3}}-x-3)dx}$
que ya es inmediata:
${\displaystyle \int (x^2-2x-3)\ln xdx=-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x+({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-3x)\ln x+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Es racional con raíces reales simples: se factoriza y se descompone en fracciones simples.
$x^2-1=(x-1)(x+1){\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})$
Cada trozo es un logaritmo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x-1\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x+1\mid +C}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Racional con raíces reales simples:
$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
Descomponiendo en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}}={\displaystyle \frac{2}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$
e integrando cada trozo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}}dx=\ln {\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{\mid x+2\mid }}+C}$