Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+8}{x^2+2x+5}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^3+1}{x^2-5x+4}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\sec }^{3}xdx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos x}{1-\cos x}}dx}$
f) ${\displaystyle \int \cos 3x{\mathrm{sen}}^{2}3xdx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ El denominador no tiene raíces reales, así que es de tipo neperiano-arco tangente. Partimos el numerador para que aparezca la derivada del denominador, que es $2x+2$:
$6x+8=3(2x+2)+2$
El primer trozo da el logaritmo. Para el segundo, completamos cuadrados:
$x^2+2x+5={(x+1)}^2+4=4(1+{\left({\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right)}^2)$
Juntando los dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+8}{x^2+2x+5}}dx=3\ln (x^2+2x+5)+\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x+1}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Racional, pero con más grado arriba que abajo: primero la división.
${\displaystyle \frac{x^3+1}{x^2-5x+4}}=x+5+{\displaystyle \frac{21x-19}{x^2-5x+4}}$
El denominador tiene raíces reales simples:
$x^2-5x+4=(x-4)(x-1)$
y descomponiendo en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{21x-19}{x^2-5x+4}}={\displaystyle \frac{65}{3(x-4)}}-{\displaystyle \frac{2}{3(x-1)}}$
Integrando todo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^3+1}{x^2-5x+4}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5x+{\displaystyle \frac{65}{3}}\ln \mid x-4\mid -{\displaystyle \frac{2}{3}}\ln \mid x-1\mid +C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Es la típica cíclica: por partes con $u=\sec x$ y $dv={\sec }^{2}xdx$, de donde $v=\mathrm{tg}x$:
$I=\sec x\mathrm{tg}x-{\displaystyle \int \sec x{\mathrm{tg}}^{2}xdx}$
Usando ${\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x-1$ reaparece la integral de partida:
$I=\sec x\mathrm{tg}x-{\displaystyle \int {\sec }^{3}xdx+{\displaystyle \int \sec xdx=\sec x\mathrm{tg}x-I+\ln \mid \sec x+\mathrm{tg}x\mid }}$
Y se despeja:
$2I=\sec x\mathrm{tg}x+\ln \mid \sec x+\mathrm{tg}x\mid$
${\displaystyle \int {\sec }^{3}xdx={\displaystyle \frac{\sec x\mathrm{tg}x+\ln \mid \sec x+\mathrm{tg}x\mid }{2}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Se descompone el integrando en dos trozos:
${\displaystyle \frac{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x\cos x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$
El primero, dividiendo por ${\cos }^{2}x$, es ${\displaystyle \frac{{\sec }^{2}x}{\mathrm{tg}x}}$, de tipo logarítmico; el segundo también:
$\ln \mid \mathrm{tg}x\mid -\ln \mid \cos x\mid$
y juntando los dos logaritmos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx=\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se multiplica numerador y denominador por el conjugado para quitar el $\cos x$ del denominador:
${\displaystyle \frac{\cos x}{1-\cos x}}={\displaystyle \frac{\cos x(1+\cos x)}{1-{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{\cos x+{\cos }^{2}x}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}$
y se separa en trozos conocidos:
$={\displaystyle \frac{\cos x}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}+{\mathrm{ctg}}^{2}x={\displaystyle \frac{\cos x}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}-1$
Los tres son inmediatos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos x}{1-\cos x}}dx=-x-\mathrm{ctg}x-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x}}+C}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Es inmediata de tipo potencial, con $f(x)=\mathrm{sen}3x$ y $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cos 3x$: solo falta el 3.
$={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}3x\cdot 3\cos 3xdx}$
Aplicando la regla de la potencia:
${\displaystyle \int \cos 3x{\mathrm{sen}}^{2}3xdx={\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{3}3x}{9}}+C}$