Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas I

Calcular por el método más adecuado las siguientes integrales (entre paréntesis figura una ayuda):

a) ${\displaystyle \int x^2\mathrm{sen}3xdx}$
b) ${\displaystyle \int x\mathrm{arctg}xdx}$
c) ${\displaystyle \int x^2{e}^{3x}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-3}{x^2+49}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^4-3x^2-3x-2}{x^3-x^2-2x}}dx}$

Este bloque es el repaso de todo el tema: lo primero, y lo más importante, es reconocer de qué tipo es cada integral. El orden en que conviene mirarlo:
1) ¿es inmediata, o inmediata con un ajuste de constante?
2) ¿el numerador es la derivada del denominador (logarítmica) o lleva a un arco tangente?
3) ¿es un cociente de polinomios (racional)?
4) ¿es un producto de funciones de distinta naturaleza (por partes)?
5) si no, ¿qué cambio de variable la simplifica?

$\mathbf{\text{a)}}$ Polinomio por función trigonométrica: por partes DOS veces, tomando siempre como $u$ el polinomio, que baja de grado en cada vuelta.
Primera vuelta, con $u=x^2$ y $dv=\mathrm{sen}3xdx$:
$-{\displaystyle \frac{x^2\cos 3x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int x\cos 3xdx}$
Segunda vuelta, con $u=x$ y $dv=\cos 3xdx$:
${\displaystyle \int x\cos 3xdx={\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}3x}{3}}+{\displaystyle \frac{\cos 3x}{9}}}$
Sustituyendo:
${\displaystyle \int x^2\mathrm{sen}3xdx=-{\displaystyle \frac{x^2\cos 3x}{3}}+{\displaystyle \frac{2x\mathrm{sen}3x}{9}}+{\displaystyle \frac{2\cos 3x}{27}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Por partes, con $u=\mathrm{arctg}x$ (el arco tangente no se sabe integrar, pero sí derivar) y $dv=xdx$:
$u=\mathrm{arctg}x⟹du={\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
Aplicando la fórmula:
${\displaystyle \frac{x^2\mathrm{arctg}x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx}$
y en la que queda hay que dividir antes, porque los grados son iguales:
${\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}⟹{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx=x-\mathrm{arctg}x}$
Sustituyendo:
${\displaystyle \int x\mathrm{arctg}xdx={\displaystyle \frac{x^2\mathrm{arctg}x}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}x}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Polinomio por exponencial: por partes dos veces, con $u$ el polinomio.
Primera vuelta, $u=x^2$ y $dv=e^{3x}dx$:
${\displaystyle \frac{x^2{e}^{3x}}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int x{e}^{3x}dx}$
Segunda vuelta, $u=x$:
${\displaystyle \int x{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{x{e}^{3x}}{3}}-{\displaystyle \frac{e^{3x}}{9}}}$
Sustituyendo:
${\displaystyle \int x^2{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{(9x^2-6x+2)e^{3x}}{27}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Denominador de segundo grado sin raíces reales: neperiano-arco tangente. Se parte el numerador con la derivada del denominador, que es $2x$:
$x-3={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(2x\right)-3$
El primer trozo es logarítmico; para el segundo se saca factor común 49:
$x^2+49=49(1+{\left({\displaystyle \frac{x}{7}}\right)}^2)$
Juntando:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-3}{x^2+49}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+49)-{\displaystyle \frac{3}{7}}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{7}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Racional con más grado arriba: primero la división.
${\displaystyle \frac{x^4-3x^2-3x-2}{x^3-x^2-2x}}=x+1+{\displaystyle \frac{-x-2}{x^3-x^2-2x}}$
El denominador tiene tres raíces reales simples:
$x^3-x^2-2x=x(x-2)(x+1)$
y la descomposición en fracciones simples da:
${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{3(x-2)}}-{\displaystyle \frac{1}{3(x+1)}}$
Integrando todo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^4-3x^2-3x-2}{x^3-x^2-2x}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+\ln \mid x\mid -{\displaystyle \frac{2}{3}}\ln \mid x-2\mid -{\displaystyle \frac{1}{3}}\ln \mid x+1\mid +C}$