Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.2. Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el $20\%$ de la población tiene entre $14$ y $24$ años, el $50\%$ entre $25$ y $64$ y el resto más de $64$ años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el $74\%$ de sus ciudadanos de entre $14$ y $24$ es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el $65{,}8\%$ entre los de $25$ a $64$ y al $53{,}7\%$ entre los mayores de $64$. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de $14$ años o más, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.

b) (1,25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre $25$ y $64$ años.

Nombramos los sucesos: $J$, tener entre 14 y 24 años; $M$, entre 25 y 64; $V$, más de 64, y $L$, ser lector habitual. Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, porque son incompatibles dos a dos y cubren toda la población de 14 años o más.

$P(J)=0{,}20;\quad P(M)=0{,}50;\quad P(V)=1-0{,}20-0{,}50=0{,}30$

$P(L\mid J)=0{,}740;\quad P(L\mid M)=0{,}658;\quad P(L\mid V)=0{,}537$



$\textbf{a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.}$

Como los tres grupos de edad forman un sistema completo, aplicamos el teorema de la probabilidad total: se recorre cada rama del árbol que acaba en $L$ y se suman los productos.

$P(L)=P(J)P(L\mid J)+P(M)P(L\mid M)+P(V)P(L\mid V)$

$P(L)=0{,}20\cdot 0{,}740+0{,}50\cdot 0{,}658+0{,}30\cdot 0{,}537$

$P(L)=0{,}148+0{,}329+0{,}1611=0{,}6381$

La probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea lector habitual es $0{,}6381$, es decir, un $63{,}81\%$.

$\textbf{b) (1,25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.}$

Ahora se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(M\mid\overline{L})=\dfrac{P(M)\,P(\overline{L}\mid M)}{P(\overline{L})}$

Calculamos cada pieza. La probabilidad de no leer dentro del grupo intermedio es la complementaria del dato del enunciado, y el denominador es la complementaria del apartado anterior.

$P(\overline{L}\mid M)=1-0{,}658=0{,}342 \Rightarrow P(M)\,P(\overline{L}\mid M)=0{,}50\cdot 0{,}342=0{,}171$

$P(\overline{L})=1-0{,}6381=0{,}3619$

$P(M\mid\overline{L})=\dfrac{0{,}171}{0{,}3619}=0{,}4725$

Si el ciudadano elegido no es lector habitual, la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años es de un $47{,}25\%$, algo menor que el $50\%$ de partida, porque ese grupo lee más que el de los mayores de 64 años.