Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.1. Sea $E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ un espacio muestral y $P$ una medida de probabilidad en $E$ definida por: $P(7) = P(3) = \dfrac{1}{4}$ y con el resto de sucesos elementales equiprobables.

Se consideran los sucesos $A = \{7, 11, 13, 19\}$, $B = \{2, 5, 7, 13, 17\}$ y $C = \{3, 5, 7, 11, 13\}$. Se pide calcular:

a) (1,25 puntos) $P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right)$.

b) (1,25 puntos) $P\left((A \cap B) \mid \overline{C}\right)$.

Antes de nada repartimos la probabilidad entre los ocho sucesos elementales. Dos de ellos valen $\frac{1}{4}$ y suman $\frac{1}{2}$; el otro medio se reparte a partes iguales entre los seis restantes.

$P(3)=P(7)=\dfrac{1}{4};\qquad P(2)=P(5)=P(11)=P(13)=P(17)=P(19)=\dfrac{1/2}{6}=\dfrac{1}{12}$



$\textbf{a) (1,25 puntos) } \boldsymbol{P\left(\overline{(A-C)}\cap B\right)}\textbf{.}$

Empezamos por la diferencia: $A-C$ son los elementos de $A$ que no están en $C$. Como $7$, $11$ y $13$ también pertenecen a $C$, solo sobrevive el $19$.

$A-C=\{19\} \Rightarrow \overline{(A-C)}=E-\{19\}$

El $19$ no pertenece a $B$, de modo que al intersecar no se pierde ningún elemento y queda el propio $B$.

$\overline{(A-C)}\cap B=B=\{2,5,7,13,17\}$

Sumamos las probabilidades de sus cinco elementos, sin olvidar que el $7$ es uno de los privilegiados.

$P(B)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}$

La probabilidad pedida es $\frac{7}{12}\approx 0{,}583$.

$\textbf{b) (1,25 puntos) } \boldsymbol{P\left((A\cap B)\mid\overline{C}\right)}\textbf{.}$

Determinamos los dos sucesos que intervienen y aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$A\cap B=\{7,13\};\qquad \overline{C}=\{2,17,19\}$

$P\left((A\cap B)\mid\overline{C}\right)=\dfrac{P\left((A\cap B)\cap\overline{C}\right)}{P(\overline{C})}$

Los dos elementos de $A\cap B$ pertenecen a $C$, así que ninguno puede estar en $\overline{C}$: los sucesos son incompatibles y el numerador se anula.

$(A\cap B)\cap\overline{C}=\varnothing \Rightarrow P\left((A\cap B)\cap\overline{C}\right)=0$

$P(\overline{C})=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\neq 0$

$P\left((A\cap B)\mid\overline{C}\right)=\dfrac{0}{1/4}=0$

El resultado es coherente: como $A\cap B\subset C$, saber que no ha ocurrido $C$ hace imposible que haya ocurrido $A\cap B$.