Ejercicio resuelto de Sistemas lineales · Matemáticas I

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y}{4}}\\ 2x+3y=9\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{3}}=3\\ 5x+2y=4x+10\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+2y}{3}}=3\\ 2x+5y-8=4(y+1)\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x+y}{6}}={\displaystyle \frac{11}{6}}\\ {\displaystyle \frac{2x-3y}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{33}{10}}\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}2x+4y=7\\ {\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{2x-5y}{6}}={\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$

Se quitan primero los denominadores y los paréntesis para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros, y después se resuelve (por reducción).

a) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}4x-3y=0\\ 2x+3y=9\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Sumamos las ecuaciones para eliminar $y$ y obtenemos $6x=9$, de donde $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Sustituyendo, $y=2$.

b) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}3x+2y=18\\ x+2y=10\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Restamos las ecuaciones para eliminar $y$ y obtenemos $2x=8$, de donde $x=4$. Sustituyendo, $y=3$.

c) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}x+2y=9\\ 2x+y=12\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Multiplicamos la primera por $1$ y la segunda por $2$. Restamos las ecuaciones para eliminar $y$ y obtenemos $-3x=-15$, de donde $x=5$. Sustituyendo, $y=2$.

d) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}2x-y=11\\ 2x-3y=17\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Restamos las ecuaciones para eliminar $x$ y obtenemos $2y=-6$, de donde $y=-3$. Sustituyendo, $x=4$.

e) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}2x+4y=7\\ 2y=3\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Multiplicamos la primera por $1$ y la segunda por $2$. Restamos las ecuaciones para eliminar $y$ y obtenemos $2x=1$, de donde $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sustituyendo, $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$.