Ejercicio resuelto de Ángulo de dos rectas · Matemáticas I

Para la recta $r$ de la figura, se pide:

a) Hallar $m$ para que $r$ sea paralela a $r^{\mathrm{\prime }}:-4x+my+6=0$.
b) Deducir el ángulo $\alpha$ (redondeado a los minutos) a partir de la ecuación de $r$.
c) Hallar el ángulo (redondeado a los minutos) que forma $r$ con la bisectriz del primer cuadrante.

De la figura, $r$ pasa por $(-3,0)$ y $(0,-2)$, luego su pendiente es $m_r=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ y su ecuación $2x+3y+6=0$.

a) $r^{\mathrm{\prime }}:-4x+my+6=0$ tiene pendiente ${\displaystyle \frac{4}{m}}$. Paralelas si ${\displaystyle \frac{4}{m}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow m=-6$.

b) $\mathrm{tg}\alpha =m_r=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, con $\alpha \in [0^{\circ },{180}^{\circ })$: $\alpha ={180}^{\circ }-\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{2}{3}}\approx {146}^{\circ }{19}^{\mathrm{\prime }}$.

c) La bisectriz del primer cuadrante es $y=x$ $(m=1)$: $\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{-\frac{2}{3}-1}{1+(-\frac{2}{3})\cdot 1}}\mid =5\Rightarrow \theta \approx {78}^{\circ }{41}^{\mathrm{\prime }}$.