Ejercicio resuelto de Posición relativa · Matemáticas I

Dada la recta $r$ determinada por $A(2,1)$ y $\vec{u}=(a,4)$, y la recta $s$ determinada por $B(-1,4)$ y $\vec{v}=(5,3)$, se pide:

a) Hallar $a$ para que $r$ y $s$ sean paralelas.
b) ¿Para qué valores de $a$ son secantes?
c) ¿Pueden ser coincidentes?

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales $({\displaystyle \frac{u_1}{v_1}}={\displaystyle \frac{u_2}{v_2}})$; secantes si no lo son; coincidentes si, además de paralelas, comparten un punto.

a) ${\displaystyle \frac{a}{5}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{20}{3}}$.

b) Son secantes cuando los directores no son proporcionales: $a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{20}{3}}$.

c) Con $a={\displaystyle \frac{20}{3}}$ (paralelas), habría que comprobar si $B\in r$. $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,3)$ y ${\displaystyle \frac{-3}{5}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{3}}$, luego $\overrightarrow{AB}$ no es paralelo a $\vec{u}$ y $B\mathrm{\notin }r$, así que no pueden ser coincidentes.