Ejercicio resuelto de Posición relativa · Matemáticas I

Comprobar, por dos métodos, si las siguientes rectas son paralelas, secantes o coincidentes; cuando sean secantes, hallar el punto de corte:

a) $\{\begin{array}{l}3x+2y-5=0\\ 3x+2y+7=0\end{array}$
b) $\{\begin{array}{l}x+3y-4=0\\ x+2y-5=0\end{array}$
c) $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ 2x+2y-6=0\end{array}$

Método 1 (coeficientes): comparar ${\displaystyle \frac{A}{A^{\mathrm{\prime }}}},{\displaystyle \frac{B}{B^{\mathrm{\prime }}}},{\displaystyle \frac{C}{C^{\mathrm{\prime }}}}$.
Método 2 (sistema): solución única, secantes; sin solución, paralelas; infinitas, coincidentes.

a) ${\displaystyle \frac{3}{3}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{-5}{7}}$, luego son paralelas. Resolviendo, al restar las ecuaciones queda $-12=0$, imposible, luego sin solución.

b) ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$ pero ${\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{\ne }1$, luego son secantes. Restando las ecuaciones: $y+1=0\Rightarrow y=-1$, y $x+2(-1)-5=0\Rightarrow x=7$. Corte $(7,-1)$.

c) ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{-3}{-6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, luego son coincidentes (infinitas soluciones).